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“证明”基础知识复习巩固 一、上学期学过的公理： 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS） 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA） 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS） 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 7．由以上公理，容易证明以下推论： 推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） 此外等式的性质和不等式的性质也作为公理。 二、上学期学过的定理及推论： （一）、判定两直线平行： 1．同位角相等，两直线平行。 2．同旁内角互补，两直线平行。 3．内错角相等，两直线平行。 （二）、如果两直线平行： 1．两直线平行，同位角相等。 2．两直线平行，内错角相等。 3．两直线平行，同旁内角互补。 其它：①对顶角相等。 ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 ③三角形内角和定理：三角形三个内角和等于1800。 ④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 ⑤三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 ⑥四边形的内角和等于3600。 例1．已知：如图，直线a,b被直线c所截，且∠1+∠2=1800 求证：a∥b（用不同方法证明） 例2．已知：如图，直线a,b被直线c所截，a∥b。 求证：∠1+∠2=1800 。 例3．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A=600，∠C=700. 求证：∠ADE=500 例4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D。 求证：∠A=∠DCB。 例5．已知：如图，在△ABC中，∠DAC=∠B。 求证：∠ADC=∠BAC. 例6．已知：如图，直线AB∥ED。 求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD。 例7．已知：如图，在△ABC中，BF平分∠ABC,CF平分∠ACB，∠A=650 求∠BFC的大小。 例8．已知：如图，点F是△ABC中一点，连接FB，FC 求证：∠BFC ＞∠A。 例9．已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。 求证：∠A=∠D。 例10．已知：如图，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。 求证：AE=CF 三、《证明（二）》： （一）、等腰（边）三角形的性质： 1．定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。 2．推论：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 （简称：三线合一）。 3．等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于600。 （二）、等腰三角形的判定： 1．定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 （三）、等边三角形的判定： 1．定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 。 2．三个角都相等的三角形是等边三角形。 例1．已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2。 求证：AB=AC。 例2．已知：如图，AB=AD，BC=DC，点E、F分别是AB、AD的中点。 求证：EC=FC。 例3．已知：如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD。 求证：BD=CD。 例4．已知：如图，在△ABC中，D、E分别是BC上的点，且BD=CE，AD=AE。 求证：AB=AC。 例5．已知：如图，AB=AE，∠ABD=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点。 求证：AF⊥CD （四）、直角三角形： 1．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2．勾股定理逆定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 3.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 5．如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 6．直角三角形全等的判定定理（HL定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。 例1．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=Rt∠，∠C=30°,AB=20