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线性规划问题的新思路 广东省惠州市黄冈中学惠州学校 （516003） 朱传兵 陕西师范大学数学与信息科学学院 （710062） 罗增儒 本文以2014 年高考数学广东卷一道线性规划试题为反思载体，呈现这类问题的多种求解途径：截距解法、不等式解法、向量解法、参数解法．从中可以体现数形结合的整体性与逆向思维的重要性． 1．常规解法的呈现 作为不等式的应用，中学教材《数学》必修5介绍了线性规划问题，这不仅体现了数学建模与优化思想，而且还渗透了数形结合的思想、函数与方程的思想、化归与转化的思想．又由于线性规划与不等式、方程、函数等知识直接联系，并自然延伸到解析几何、向量、数列、概率等众多知识模块中去，所以，线性规划已经成为新课程高考命题“在知识网络交汇处设计试题，促进学科知识的交融和渗透”的一个切入口、求新点或必考热门．下面是今年广东卷的一道线性规划试题． 题目 （2014 年高考数学广东卷（理科）第3题若变量满足约束条件 的最大值和最小值分别为和，则 A）8 （B）7 　C）6 　D）5 讲解 本题源于课本的练习（见文[1] 第91页）：求的最大值满足约束条件 最小值最大值最小值解法1 根据约束条件，然后平移直线，并观察在轴上的截距：当通过点时取到最小值；当通过点时取到最值．所以．选（C）． 图1通过点时取到最值取到最值的公共端点处取到，把表示为不等式中相应代数式，的线性组合，则的最值通过点时取到最值取到最值的公共端点处取到，把表示为不等式中相应代数式，的线性组合，则的最值表示为“约束条件”中的相应代数式的线性组合（待定系数法），设 ， 比较的系数，有 得 ． ① 在①中取，由约束条件，有 ， 当时取到最小值； 在①中取，由约束条件，有 ， 当时取到最值； 所以．选（C）． 这个不等式解法的基本步骤是： 步骤1 将“目标函数”表示为“约束条件”中的相应代数式的线性组合（通常用待定系数法）． 步骤2 将相应不等式放缩为常数； 步骤3 验证常数可以取到，找出“最优解”． 可见，这个解法无非是在定义域内（代数不等式组）求二元函数的值域（当然，中学教材不出现二元函数），这只不过是代数题的本义．我们认为，对“数形结合”只说“由数到形”会给学生造成单流向的误解，选择时机补上对应的“代数解法”有助于学生获得“数形结合”的完整认识、形成优化的认知结构． 值得注意的是，学生常常会由约束条件的范围（结果不惟一，如，），然后计算的范围（误得）．这时，由于不等式的“加减消元”只是一个必要条件过程，不能保证同时取到端点值（不能取到），所以，得到的常常只是“估值范围”而非“取值范围”（是“必要条件”而非“充要条件”）．同时呈现解法1、解法2，可以帮助学生认清出错的原因、又找到纠错的办法． （2）反思由条件到结论的单一性． 如所周知，解题方法既有综合法（由因索果）又有分析法（执果索因），只要有可能，我们都应该提供综合与分析的双向沟通．在线性规划问题上，如果我们着眼于“执果索因”，那么目标函数就会向我们呈现两个前景：其一是“数形结合”的，即把转化为向量的数量积，然后在“可行域”上找数量积的最值（参见解法3）；其二是纯代数的，即把改写为参数式（其中满足），代入的约束条件得关于的不等式（组），由此可以确定的范围，进而求出的最值（参见解法4）． 解法3 作向量，，记向量的夹角为（），则向量在向量上的投影为．由于 ， 所以，求的最值在定向量上投影的最值根据约束条件，在可行域上旋转动向量，可见：当位于处时投影取到最小值； 当位于处时投影取到最值． 所以．选（C）． 图2 这个向量解法的基本步骤是： 步骤1 （由数到形的沟通）将“线性约束条件”（代数不等式组）转化为“可行域”（图形）；还用到了联立方程求边界角顶点的坐标． 步骤2 （由数到形的沟通）将“目标函数”（代数等式）改写成“两向量的数量积”，再转化为一向量在另一向量上的投影 ． 步骤3 （数形结合的寻找）在“可行域”内找动向量在定向量上投影的最值的模得出的最值变为数量积，相当于作出了直线的垂直向量，相应的，第3步把直线的平移变为动向量的垂直投影．把图1与图2合并得图3，可见，直线平移到，与位于是同一个位置．　　　　　　　　图3 解法4 把化为代入约束条件），有 得 由②、③有 ， ④ 可解得，计及①得 ．