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对高中数学教材中函数定义的改革 　　摘 要：函数是高中数学的核心概念，函数的思想方法是贯穿高中数学课程的一根“红线”，函数概念历来都是高中数学教学中的重点和难点.但是笔者在教学中发现，高中数学教材中函数定义的内容本身存在着一些缺陷，所以积极探索改革现行的高中数学教材中函数定义的内容，在数学理论的研究和实践中都具有重要的意义.本文主要是笔者结合自己在教学中的实践，首先创造性地给出了对应的定义和分类，然后站立在对应分类结果的这块基石之上，从一个新的视角给出了函数经过改革后的定义，最后说明了改革后的函数定义在实践和理论中的重要意义. 　　关键词：高中数学；函数定义；改革；必要性；建议；意义 　　[?] 改革函数定义的必要性 　　现行的高中数学教材中函数的定义是这样的：“给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f（x）与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y=f（x），x∈A. 此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f（x）x∈A}叫做函数的值域. 习惯上我们称y是x的函数.” 在教学过程中，笔者对函数的这一定义经过仔细地研究之后发现，该定义存在着以下缺陷：第一，该定义中“把对应关系f叫做定义在A上的函数”这句话表达的意思不够准确. 首先大家知道，函数应包括集合A、B和对应关系f这三部分，这三部分是一个统一的整体，它们合起来共同组成从集合A到集合B的函数；其次，这句话与该定义内容中的“记作f：A→B”之间不能做到相互匹配. 第二，该定义中函数的值域{f（x）x∈A}与集合B之间有什么关系？在定义内容中没有给予明确的回答.第三，该定义语言叙述过于冗长、抽象不容易理解，经过调查，不少学生在学习了该定义内容之后很难体会到函数定义的实质. 第四，该定义是建立在对应概念之上的，函数它是一种特殊的对应，但是在数学理论中，“对应”它是一个未加定义的概念，到底什么叫做对应？它包括哪几种类型？函数与对应相比，具体有何区别？有何联系？对这些问题如何回答，学生在心中始终是一个谜. 尽管高中数学教材已经经历了多次改革，而且每一次在编写新高中数学教材时，对函数的定义都进行了不同程度的改进，同时尽管函数定义的教学历来都是高中数学教学中公认的重点和难点，但是从教学的效果看，不容乐观. 在抱怨学生没有抓住函数定义实质的同时，我们为何不静下心来做一些理性的思考，反思一下函数定义内容本身是否存在着内在的缺陷？所以，积极探索改革现行的高中数学教材中函数定义的内容，在数学理论的研究和实践中都具有重要的意义. 　　[?] 对函数定义的改革 　　（一）笔者结合自己的教学实践，对函数下定义的方式做了深入的研究之后发现，要给函数下一个学生容易接受的定义，就必须创造性的对数学理论中未加定义的“对应”这一概念给出它的定义和分类： 　　1. 元素a与元素b对应的定义：设A、B是两个集合，从A中取出元素a，从B中取出元素b，组成一个有序元素对（a，b），叫做元素a与元素b对应. 　　2. 从集合A到集合B的对应的定义：若对集合A中的每一个元素，按照某种对应关系f，在集合B中都有与之对应的元素（一个或多个），则称从集合A到集合B的对应，记作对应f：A→B. 　　由对应f：A→B的定义可知：A中的元素都必须取到，B中的元素允许有剩余；集合A、B可以是数集，也可以是点集，或者是其他集合，它们可以相等，也可以不等. 　　3. 从集合A到集合B的对应的分类结果为：对应对一对应多对一对应 　　一对一对应 　　对多对应一对多对应 　　多对多对应 　　（二）在对应分类结果的基础上，再给出函数的定义： 　　函数的定义：若集合A、B都是非空的数集，则把从集合A到集合B的对一对应f：A→B叫做从集合A到集合B的函数，记作函数f：A→B. 　　在函数定义中，若x表示集合A中的任何一个元素，则在集合B中与x对应的元素可以表示为y或f（x），此时，函数f：A→B还可以表示为函数y=f（x），x∈A，y∈B. 习惯上我们称y是x的函数. 　　其中，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，f（x）叫做与自变量x对应的函数值，全体函数值的集合{f（x）x∈A}叫做函数的值域，函数的值域一般记作集合C，显然C?B. 　　例如：1. 在上面所举的例子①中，若取集合A={0，1，-1}，集合B={0，1，3}，对应关系f：y=x2，x∈A，y∈B时，则该多对一对应f：A→B就是从集合A到集合B的函数. 　　2. 在上面所举的例子②中，若取A={1，2，3}，B={2，4，6}，对应关系f：y=2x，x∈A，y∈B时，则该一一对应f：A→B就是从集合A到集合B的函数；或者若取集合