第6章点的运动.docVIP

运 动 学 运动学研究物体运动的几何性质(如运动方程、速度和加速度)，而不涉及力和质量等与运动变化有关的物理因素。 确定一个物体的位置或者描述一个物体的运动，必须相对于另一个物体才有意义。这个另一物体称为参考体。固连于参考体上的坐标系称为参考系。质点，即只具有质量，而无大小的几何点。 第六章 点的运动 点在空间运动时所经过的路线，称为点的轨迹。若点的轨迹为直线，就称为直线运动；轨迹为曲线，就称为曲线运动。确定点的运动，就是建立点在参考系中的位置随时间变化的关系，这种关系的数学表达式，称为点的运动方程。 §6-1 矢径法 一、运动方程 设动点M在空间作曲线运动，任选一固定点O作为参考点，则点M在任一瞬时的位置可用其位置矢量，即点O到M的矢径r=OM唯一地确定。点M运动时，矢径r的大小和方向随时间而变化，是时间t的单值连续的矢量函数，即 r = r(t) 上式称为点的矢量形式的运动方程。显然，矢径端点在空间描绘出的一条曲线就是点的轨迹。 二、速度 动点的速度矢等于矢径r对时间的一阶导数。 速度是矢量，方向沿动点矢径端点对应点处的切线，并指向动点运动的方向。 在国际单位制中，速度的单位是米/秒(m/s) 三、加速度 动点沿曲线运动时，其速度的大小和方向都可能随时间而改变。为了描述动点速度的变化，我们引进加速度的概念。 点的加速度等于其速度(矢量)对时间的一阶导数，或等于其矢径对时间的二阶导数。 加速度也是一个矢量，加速度的单位是米/秒2(m/s2)。 §6-2 直角坐标法 一、运动方程 动点M沿空间曲线运动，过固定点O作直角坐标系Oxyz。设在任意瞬时t，动点的矢径为r ,其矢径r的分解式为 直角坐标形式的运动方程为 轨迹方程为 二、速度 动点的速度，其中、、是直角坐标轴的单位常矢量，则有 速度的解析形式为 速度在直角坐标轴上的投影为 因此，速度在直角坐标轴上的投影等于动点所对应的坐标对时间的一阶导数。 若已知速度投影，则速度的大小和方向为 上式表明：动点的速度在固定直角坐标轴上的投影，等于该点相应的坐标对时间的一阶导数。若已知动点直角坐标形式的运动方程，则由上式可求得动点的速度在各坐标轴上的投影，从而可求得速度的大小和方向余弦。 三、加速度 式中，ax 、ay和az分别是加速度a在ox、oy和oz轴上的投影。 上式表明：动点的加速度在固定直角坐标轴上的投影，等于该点速度的相应的投影对时间的一阶导数，或等于该点相应的坐标对时间的二阶导数。若已知加速度a的投影 ，则加速度的大小和方向余弦可求。 例1 机车以匀速vo沿直线轨道行驶。车轮的半径为R，只滚动而不滑动，将轮缘上的点M在轨道上的起始位置取为坐标原点，并将轨道取为x轴。求M点的运动方程，速度及加速度的表达式。 解 轮缘上点M的运动轨迹是一平面曲线，可用直角坐标先建立运动方程， 再求速度和加速度。如图所示，当t = 0时，轮心C在y轴上，经过时间t秒后，车轮中心C运动的路程 s = OA = vot 由于车轮只滚动而不滑动，故OA=AM=Rφ，所以 于是在瞬时t，点M的坐标为 x = vot-Rsinφ y = R- Rcosφ 即 这就是点M的运动方程，也是其轨迹的参数方程，该轨迹为旋轮线或摆线。 点M的速度在坐标轴上的投影 故速度v的大小及方向余弦 点M的加速度在坐标轴上的投影 故加速度的大小及方向余弦 这说明当车轮匀速行驶时，加速度a由M点指向车轮中心C。 例2 曲柄连杆机构如图所示，设曲柄OA长为r，绕O轴匀速转动，曲柄与x轴的夹角为，为时间（秒s），连杆AB长为l，滑块B在水平的滑道上运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。 解：建立直角坐标系oxy，滑块B的运动方程为 （1） 其中由几何关系得 则有 （2） 式（2）代入式（1）得滑块B的运动方程 （3） 对式（2）求导得滑块B的速度和加速度，即