《平面性质及空间直线.docVIP

平面性质及空间直线 一 知识要点： 1、平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2、平面的基本性质 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：．如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 公理1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推理模式：且且唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法． 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：A，B，C不共线存在唯一的平面，使得． 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面 推理模式：存在唯一的平面，使得，。 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式：存在唯一的平面，使得。 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 推理模式：a//b存在唯一的平面，使得 3、平面图形与空间图形的概念：如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形。 空间两直线的位置关系 （1）相交——有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； 4、公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 推理模式：． 5、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等 6、空间两条异面直线的画法 7、异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：与是异面直线 8、异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围： 9、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作． 10、求异面直线所成的角的方法： 几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点作另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 向量法：用向量的夹角公式 11．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线 理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义． 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线． 有且只有一条 【典型例题】 例1、已知： 例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱AB，BC，的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面． 例3、在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF和AD为异面直线． 例4、在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，求AD与BC所成角的大小． 5．在长方体中，已知，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 例6、已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A=AB， E、F分别是BD1和AD中点． （1）求异面直线CD1、EF所成的角； （2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线． 例7、△ABC是边长为2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一点P，PB=PC=，PA=，延长BP至D，使BD=，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离． 8、如图2，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，，求异面直线AB与PC的距离。