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对偶理论与灵敏度分析 (duality theory and sensitivity analysis) 单纯形法的矩阵描述 用矩阵描述单纯形法求解过程比较简便，也有助于加深对单纯形法的理解。 设有线性规划问题，用矩阵形式表示， 在约束条件中加入松弛变量，将其化成标准型： 式中I为m×m的单位阵 运用单纯形法求解，需将标准型中系数矩阵、变量和目标函数中的系数向量改写成分块形式： ? 系数矩阵(A，I)改写为(B，N)两块，B为基矩阵； ? 变量改写为，为对应于基矩阵B的基变量； ? 目标函数中系数向量(C，0)改写为(，)，为对应于基变量的系数向量； 目标函数： z = 约束条件： 所以，改写后的线性规划问题为， 下面按照单纯形法求解原理，对改写后的线性规划模型进行分析： 从(2)式中，可得出用非基变量表示基变量的表达式： (3) 在(3)式中，令，可得到一个基解 再将(3)式代入(1)式，可得出用非基变量表示目标函数的表达式： 令，可得目标函数值， 再对(3)和(4)进行分析，又可得出： 在(4)式中，非基变量系数，即为非基变量的检验数，基变量的检验数为0； 这个非基变量检验数＝与前一章提到的非基变量。 在这个检验数＝中，由于中对应于的系数为0，所以，的检验数为。 另外，由于基变量的检验数为，所以，所有变量的检验数都可用和表示。 从(3)式，确定换出变量的θ规则，用矩阵可表示为， 这里的θ规则与前面介绍的θ规则含义完全相同，在上一章介绍的θ规则为， 在上式中，是向量的第i个分量，即；是的第i个分量，即。 用矩阵描述的单纯形表。 为用矩阵描述的单纯形表，需要将上面(1)和(2)再进行改写，将非基变量再分成两块，即 (5) 将(4)式移项后,得, 将(5)式代入(6)式,得, 将(5)式和(7)式合并,用矩阵表示即为, 用单纯形表表示即为, RHS 0 这是迭代后的单纯形表,从表中可以看出,各部分数字都与基矩阵B的逆矩阵B-1有关, 而逆矩阵B-1对应于松弛变量的位置。 改进单纯形法 从上一章介绍的表格单纯形法可以看出，用该法求解线性规划问题时，每迭代一次都要把整个单纯形表计算一遍，实际上，从上一张单纯形表变换到下一张时，即迭代一次有许多计算是不必要的，所需重新计算的数据仅仅是检验数、主元列元素、当前的基变量及b列数据等，一些与基变换运算暂时无关的列向量没有必要计算。 因此，按此法用计算机求解线性规划问题，特别是大型线性规划问题时，计算效率非常低。为了提高计算效率，人们对表格单纯形法进行了改进提出了适合于计算机计算的改进单纯形法。 改进单纯形法有两个特点：① 在迭代过程中，有许多数据计算都依赖于基矩阵B的逆矩阵B-1。所以，在迭代过程中，只要求出基矩阵的B的逆矩阵B-1，检验数、基可行解中的基变量、目标函数值及θ值等数据都可以从线性规划问题的初始数据直接求出。② 在进行了基变换后，如何用最少的计算量来求出新的基矩阵的逆矩阵B-1，就成了该法的关键。如果每次迭代都必须从原始数据来计算B-1，计算量是很大的。改进单纯形法能够在相邻的两次迭代中，用上一次基矩阵的B的逆矩阵B-1直接计算出新的基矩阵的的逆矩阵，大大简化了计算。 改进单纯形法的计算步骤： 根据给出的线性规划问题，在加入松弛变量或人工变量后，得到初始基变量，求出初始可行基B的逆矩阵B-1和初始基可行解， 再计算单纯形乘子 计算非基变量的检验数，；如果，即每一个非基变量对应的检验数都小于零，则表示已得到了最优解，停止计算。如果还存在，转入下一步； 根据，对应的非基变量为换人变量，再计算（为进基列向量，为所对应的原始系数列向量）；如果，原问题无界解，停止计算，否则，转入下一步； 根据规则，求出 对应的基变量为换出变量，同时，得到一组新的基变量和新的基矩阵； 计算新的基矩阵的逆矩阵。先要构造一个初等变换矩阵，再利用计算出，再求出、； 重复[2]至[5]步骤，直至求出最优解。 在两次相邻的迭代中，如何用用上一次基矩阵B的逆矩阵B-1直接计算出新的基矩阵的的逆矩阵，而不用新基的原始数据来计算逆矩阵。 由于在两次相邻的迭代中，上一步迭代的基矩阵B，在基变换后，即用非基变量取代基变量，得到下一步迭代的新基矩阵，两个基矩阵相比仅差一列的系数列向量，因此，可以直接根据上一步的基矩阵B的逆矩阵B-1和换人变量的系数列向量计算出新基矩阵。 在相邻的两次迭代中，设上一步迭代的可行基B为， 经过基变换后，得到一新的可行基为， 则迭代后所得到新的可行基的为，， 其中， 称为初等变换矩阵。 证明：因为 ，即 ，， 已知，， 又因为， 根据矩阵