立體几何中探索性问题的向量解法.docVIP

立体几何中探索性问题的向量解法 高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势. 本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。 一、存在判断型 1、已知空间三点A（-2，0，2），B（-2，1，2），C（-3，0，3）.设a=，b=，是否存在存在实数k，使向量ka+b与ka-2b互相垂直，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。 解∵ka+b=k（0，1，0）+（-1，0，1）＝（-1，k，1），ka-2b=（2，k，-2）， 且(ka+b)⊥（ka-2b）， ∴（-1，k，1）·（2，k，-2）=k2 -4=0. 则k=-2或k=2. 点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做. (ka+b)(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2= k2 -4=0，解得k=-2或k=2. 2、 如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，∠PDA为，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线?若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由. 解：以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz.设|AD|=2a，|AB|=2b，∠PDA=.则A(0，0，0)、B(0，2b，0)、C(2a，2b，0)、D(2a，0，0)、P(0，0，2atan)、M(0，b，0)、N(a，b，atan). ∴=(0，2b，0)，=(2a，2b，-2atan)，=(a，0，atan). ∵·=(0，2b，0)·(a，0，atan)=0， ∴⊥.即AB⊥MN. 若MN⊥PC， 则·=(a，0，atan)·(2a，2b，-2atan) =2a2-2a2tan2=0. ∴tan2=1，而是锐角. ∴tan=1，＝45°. 即当=45°时，直线MN是直线AB与PC的公垂线. 【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法. 二、位置探究型 3．如图所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，与夹角的余弦值为。 （1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。 （2）在平面PAD内是否存在一点F，使EF⊥平面PCB？ 解析：⑴以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设P（0,0,2m）. 则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(1,1,m)， 从而=(-1,1,m),=(0,0,2m). =，得m=1. 所以E点的坐标为（1,1,1）. （2）由于点F在平面PAD内，故可设F()， 由⊥平面PCB得： 且， 即 。 所以点F的坐标为（1,0,0）,即点F是DA的中点时，可使EF⊥平面PCB. 【方法归纳】点F在平面PAD上一般可设、计算出后，D点是已知的，即可求出F点。 4、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE＝CF． （1）当E、F在何位置时，B1F⊥D1E； （2）是否存在点E、F，使A1C⊥面C1EF？ （3）当E、F在何位置时三棱锥C1－CEF的体积取得最大值，并求此时二面角C1－EF－C的大小． 解：（1）以A为原点，以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BE=x，则有 因此，无论E、F在何位置均有 （2） 若A1C⊥面C1EF，则得矛盾，故不存在点E、F，使A1C⊥面C1EF （3） 当时，三棱锥C1—CEF的体积最大，这时，E、F分别为BC、CD的中点。 连接AC交EF于G，则AC⊥EF，由三垂线定理知：C1G⊥EF ， 【方法归纳】 立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法. 三、巩固提高 5、 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，所有棱的长度都是2，M是BC边的中点，问：在侧棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 解：以A点为原点，建立如图9-6-5所示的空间右手直角坐标系A－xyz. 因为所有棱长都等于2，所以 A（0，0，0），C（0，2，0），B（，1，0）， B1(，1，2)，M(，，0). 点N在侧棱CC1上，可设N（0，2，m）（0≤m≤2）， 则=(，1，2)，=(，，m)， 于是||=2，||=，·=2m-1. 如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量和的夹角是45°或13