空間的平面及空间两条直线的位置关系.docVIP

一. 教学内容： 第一讲 空间的平面及空间两条直线的位置关系 二. 重点、难点： 1. 确定平面的三个公理。 2. 点在线上， 3. 共面问题 （1）确定平面，依次证明，点、线在面上 （2）一部分点线在平面内，一部分点线在平面上，再证、重合，则所有点线共面。 4. 平行直线 （1） （2）定义 （3）平行四边形判定 5. 异面直线：反证法 【典型例题】 [例1] 在平面外，三边所在直线分别交平面于D、E、F，求证：D、E、F三点共线。 证明： 如图所示，A、B、C确定平面 设 ∴ 同理 ∴ D、E、F三点共线 [例2] 不共面的三个直线、、两两相交，求证：三线交于一点。 证明： 、相交确定平面 、相交确定平面 ∴ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 三线交于一点 [例3] 如图正方体中，E、F为、中点，求证：D1、E、F、B四点共面。 证明： 连接D1E交AD于M ∵ E为中点 ∴ MA=AD 同理连接D1F交DC于N CN=CD ∵ 正方体 ∴ MA=AB=BC=CN ∴ ∴ ∴ M、B、N三点共线 上 ∴ 、确定平面 ∴ D1、E、M、B、N、F六点共面 [例4] 空间不共点的四条直线两两相交，求证：四线共面。 证明： （1）有三线共点，如图 上 ∴ A与确定平面 ∴ A、B、C、D ∴ AB、AC、AD、 （2）无三点共线 直线DEF ∴ A与直线D、E、F确定平面 ∴ AD、AE ∴ B、C ∴ ∴ 四线共面 [例5] 如图，正方体、E、F、G、H、M、N为各棱中点，求证：EFGHMN为正六边形。 证明： 显然EF=FG=GH=HM=MN=NE E、F为中点 EF∥BD ∴ EF∥NG 确定平面 同理FG∥EH 确定平面 与有三个不在同一条直线上三点 ∴ 、重合 ∴ E、F、G、H、N五点共面 同理E、F、G、H、M、N六点共面 ∴ 正六边形EFGHMN [例6] ，为异面直线，A、B，C、D。 求证：（1）AC、BD成异面直线 （2）AD、BC为异面直线 证明： （1）假设AC、BD非异面直线，则存在平面过AC、BD即：AC、BD ∴ A、B、C、D ∴ 、 与已知矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ AC、BD为异面直线 （2）同理可证 [例7] 确定平面 （1）空间四点可确定几个平面； （2）三条直线两两相交可确定几个平面； （3）空间四条平行直线可确定几个平面； （4）一条直线与线外不共线三点可确定几个平面。 解： （1）{0，1，4} （2）{1，3} （3）{1，4，6} （4）{1，3，4} [例8] 如图，空间四边形A BCD中，G、EBC，HFAD，图中9条线中有异面直线多少对。 解： 共16对 AB与CD AB与EF AB与EH AB与GH BC与AD CD与EF CD与EH CD与FG BD与EF BD与EH BD与GH BD与GH AB与GF CD与GH EH与GF EF与GH 【模拟试题】（答题时间：40分钟） 1. 、异面，、异面，则、的关系为（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上均有可能 2. 三个角为直角的四边形为（ ） A. 一定为矩形 B. 一定为空间四边形 C. 以上均有可能 D. 以上均不正确 3. AB、CD分别是两条异面上线段，M、N分别是它的中点，则有（ ） A. B. C. D. 与无法比较 4. 分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ） A. 平行或相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 均有可能 5. 、为异面直线，，，，则有（ ） A. 、同时与相交 B. 至少与、中一条相交 C. 至多与、中一条相交 D. 与、中一条平行，一条相交 6. 如图正方体中： （1）与对角线AC1成异面的直线的棱有多少条？ （2）与AB成异面直线的棱有多少条？ （3）与BD成异面直线的棱有多少条？ （4）正方体12条棱中异面直线共有多少对？ 7. 如图，E、F、G、H、M、N为四面体ABCD各棱中点，求证：EF、GH、MN三条线既交于一点且两两平分。 8. 不共面直线、、交于一点O，M、P，，，求证：MN、PQ为异面直线。 【试题答案】 1. D 2. C 3. B 4. B 5. B 6. （1）6条，，，，，CD，CB （2）4条，，，， （3）6条，，，，，， （4