空間向量法解决立体几何问题.docVIP

【空间向量与立体几何 姓名 知识点归纳 垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系 1 平行转化 线线平行线面平行面面平行 2 垂直转化 线线垂直线面垂直面面垂直 知识梳理 1．空间直角坐标系： 　在空间选定一点引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面； 　作空间直角坐标系时，一般使（或），； 　在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系． 2．空间直角坐标系中的坐标： 如图给定空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组叫在空间直角坐标系中的坐标， 记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标． ３．空间两点间距离 若，，则 特别地，Ａ到原点的距离 （2）夹角公式：． 空间向量法解决立体几何问题 一、引入两个重要空间向量 1、直线的方向向量； 2、平面的法向量。 二、立体几何问题的类型及解法 1、判断直线、平面间的位置关系； (1)直线与直线的位置关系; (2)直线与平面的位置关系; (3)平面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。 一.引入两个重要的空间向量 1.直线的方向向量： 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量. 如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是 2.平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂 直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α 求平面的法向量的坐标的步骤: 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量 练习：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1, D1 中，E,F分别为棱AB,BC的中点，试在棱BB上找一点M,使得D1M平面EFB1 二.立体几何问题的类型及解法 1.判定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. ①若a∥b,即a=λb,则a∥b.②若a⊥b,即a·b = 0,则a⊥b (2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L不在α.内 ①若a∥n,即a =λn, 则 L⊥ α ②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥ α. 例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,，D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (I)A1E ⊥平面DBC1; (II)AB1 ∥ 平面DBC1 练习：1：两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交与AB,.M,N分别为BD,AE上的点，且AN=DM,（1）求证：MN//平面EBC; (2)求MN长度的最小值 2：在正方体ABCD-A1B1C1, D1 中，O为AC和BD的交点，G为CC1 的中点，求证：A1O平面GBD 3. 在正方体中，分别是的中点，求证平面． (3)平面与平面的位置关系 平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2 ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β 例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD 练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，求证：平面A1BC1//平面ABD1 2.求空间中的角 (1)两异面直线的夹角: 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两