常微分方程2016修订版王其如.docVIP

第章 第章了解的存在性，但解存在并不代表能具体表达式例如，对形式简单的里卡蒂Riccati）方程 虽然当、和连续时解是存在的，但一般没有初等解法，这一事实为法国数学家刘维尔（Liouville）于1841年所证明高阶微分方程或微分方程组了尽管这样，对于形式特殊的微分方程或微分方程组，可用数学分析或（和）高等代数的方法求得其特解和通解本章将介绍方程的，这是常微分方程期数学家的辛勤成果，既是常微分方程理论中很有自身特色的部分，也，值得好好学习和体会（显式） （2.1） （隐式） （2.2） 的求解问题. 注意到：利用一阶微分不变形，显式方程(2.1)可改写为下列等价形式或对称形式. 一般地，分离变量法、变量变换法、积分因子法适用于显式微分方程的求解，参数表示法适用于隐式微分方程的求解. §2.1 变量分离方程与分离变量法 若方程（2.1）中的函数具有形式，即 （2.3） 则称微分方程（2.3）为变量分离方程，分别是的连续函数根据数学分析，如果，可将改写为 这样，变量就分离开了两边积分得 （.4）已经，分别理解为和的一个原函数. 常数的取值必须保证（.4）关系式（.4）可理解为的隐函数关系式或、函数关系式. 关系式（.4）知对任常数，由（.4）所确定的函数关系式满足方程，因而是的通解. 方程（.4）不适合情形 但如果存在使，则直接验证也是方程的解. 因此，还必须寻求的解，当不包括在方程的通解（.4）中时，必须补上特解. 例 求方程 的解. 解，则分离变量 两边积分得 其中，为任意常数. 此即为方程的通解，其中. 若，则得两个特解和. 若允许的话，则包含在通解中，但特解不能包含在通解中. 注变量分离方程是可求解的一阶微分方程的一种基本形式，相当一部分可求解的一阶微分方程均是通过若干初等变换化为变量分离方程下面介绍两种简单情形，不在这里讨论.齐微分方程 （2.5） 的方程称为齐式微分方程，这里是的连续函数通过变量变换，，因此方程化为变量分离方程 . 下面，给出一个例 例题2.2 求微分方程的所有解. 解 这一方程属于齐式微分方程. 作变换，，因此方程化为变量分离方程 分离变量并积分得 整理后得 其中，是不为零的任意常数. 此外，方程还有特解：. 因此，若允许等于零的话，则通解包含了原方程的所有解. （2）分式线性方程 或 （2.6） 称为分式微分方程，其中是的连续函数三种情形： (ⅰ) 情形属齐方程通过变量变换化为变量分离方程(ⅱ) 情形。若令，方程，而显然已属变量分离方程(iii) 情形先解联立代数方程 得解 再作代换 将方程化为下列形式的齐方程 例解微分方程 解 解代数方程 得. 作代换 化为 然后，令，则进一步化为 两边积分 或 代回变量 再代回原变量最后原方程的通解为 其中，为任意常数.. 解 令，则由，原方程变为. 分离变量并积分分别得 代回原变量 其中，为任意常数. 习题.1 1. 求下列方程的解 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 2. 通过适当的变量变换求解下列方程 (1) ； (2) ； () ； (4) . 3. 证明方程经变换可化为变量分离方程，并由此求解下列方程 (1) ； (2) .. 证明方程经变换可化为变量分离方程，并由此求解下列方程 (1) ； (2) .. 已知积分方程, 试求函数的表达式. . 求一曲线, 使它的切线介于坐标轴间的部分被切点分成相等的两段. §2.2 线性方程与初等变换法 考虑一阶线性方程 这里都是的连续函数，即 （2.7’) 则方程（2.7’）称为一阶齐线性方程一阶齐线性方程方程’）. 分离变量 两边积分得 其中为任意常数. 此即为齐次线性微分方程的通解，其中. 受齐次方程通解形式的启示，对非齐次方程作变量变换 （2.8） 代入方程得 即变为变量分离方程 由此解得 ，是任意常数因此方程的通解为 是任意常数和的地位，才能把所要求解的微分