常微分方程试卷及答案.docx

2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业填空题（每题4分，共20分）1. 形如 （连续）的方程是 一阶线性微分 方程，它的通解为 .2. 形如的方程是 3阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为.3. 形如的方程为 欧拉 方程, 可通过变换把它转化成常系数方程.4. 满足初始条件：=0, =1的特解5．5.微分方程的解存在且唯一的条件是: 在R上连续且满足利普希茨条件 下列微分方程的解（每题5分，共30分）1．=解：令x+y=u,则=-1……………………….3 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. ……………………….52．解：两边同乘以得： ……………………….3故方程的通解为： ……………………….53．解：令，则，两边对x求导，得 ， ……………………….3解之得 ，所以， ……………………….4且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. ……………………….54. 解：特征方程有三重根，， ……………………….3故通解为 ……………………….55. 解：特征方程有根0,齐线性方程的通解为x= ……………………….3又因为0是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=，B= ……………………….4故通解为x= ……………………….56. 解: 原方程可化为 ………………………1分离变量可得 …………………………………………………..3 两边积分可得 …………………………………………………..4将初值代入上式求得方程的解: ……………………….5求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1．求一曲线，使其任一点的切线在轴上的截距等于该切线的斜率.解： 设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为： ……………………….3由题意得 即 也即 两边同除以，得 ………………….5即 ……………………….7即 ……………………….10为方程的解。2. 满足初值条件解:方程组的特征值,……………………….2对应特征值的特征向量应满足 对任意常数, , 取, 得 ……………………….4对应特征值的特征向量应满足 对任意常数, , 取, 得 ……………………….6所以基解矩阵为: ……………………….8= ………….103.求方程 通过点 的第二次近似解.解: 令，于是 …………………….5 …………….10五、应用题（10分）摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解：，又，由此 即 ………………….5其中，解之得 又时，；时，。故得 ，从而方程可化为 ………………….7当时，有 米/秒 ……………….8即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。 ………………….10六、证明题 （10分）1、试证: 非齐次线性微分方程组的叠加原理:即:设分别是方程组的解，则是方程组的解.证明： （1） （2）分别将代入（1）和（2）则 ………………….5则令 即证 ………………….102010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 B卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业填空题（每题4分，共20分）1. 是恰当方程的充要条件是；其通解可用曲线积分表示为 .2．方程 叫 克莱罗 方程，其通解是，其奇解是 .3. 形如的方程是 2 阶 非齐次 (“齐次”还是”非齐次”)_常系数的微分方程,它的特征方程的特征根为 .4. 若 是同一线性方程 的基解方阵，则它们间有关系 .5．5.微分方程的解存在且唯一的条件是: 在R上连续且满足利普希茨条件 二、下列微分方程的解（每题5分，共30分）1. 解： 令 …………….1则： 即 得到 故 即 …………………….4 另外也是方程的解。 . …………………….52. =解： y= () …………………….3=[-e()+c]=c e- ()是原方程的解。 …………………….53．。 设 …………………….3 …………………….4 ， 解为 …………………….54. 解：特征方程有复数根, ……….3故通解为 …………………….55.解: 原方程可化为 故 …………………….56. 解：特征方程有根-2,-4 …………………….1故齐线性方程的通解为x= …………………….3-2是特征方程的根，故代入原方程解得A= ……………….4故通解为x= ……………….5三、求下列方程（组）的通解（每题10分，共