由數列的递推公式求通项公式的求解策略.docVIP

由数列递推公式求通项公式的求解策略 一般地，如果已知数列的第１项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．由递推公式给出的数列，称之为递推数列．等差、等比数列实际上就是最简单的递推数列．求递推数列的通项的方法较为灵活，本文归纳涉及递推数列的常用解题方法及技巧。 一、直接构成等差等比数列 例1．已知数列递推公式，求数列通项公式。 二、迭加法（或迭乘法）：当递推关系为时，要求通项公式时，我们常通过（或）的变形来求出，此方法叫迭加法（或迭乘法） 例题5：已知正数数列满足，求. 三、迭代法：当数列的递推关系为可以是常数，也可以是关于n的函数式），通过的一步步迭代可求出通项公式，具体做法为： 例6、已知数列的前n项和，满足 （1）写出数列的前三项（2）求数列的通项公式 四、用求解：数列的前n项和与的隐含关系为，利用这个关系揭示与的关系或与的关系，使数列化归为两个基本的数列求解 例7、为数列的前n项和，且，首项 若，求证：数列为等比数列 （2）、设，求证：数列为等比数列 （3）、求数列的通项公式及前n项和公式 五、构造新的辅助等差等比数列求通项：当数列的递推关系为或或时，往往可以将其转化为一个新的等差数列或等比数列，然后再依次求出有关的通项公式。或待定系数法的渗透 对于形如、、（是常数）等递推式求通项类型的试题，在高考中出现的频率最高，在每年的各省市高考卷中都能找到其身影，而且其解题的方法众多，其中待定系数法不失一种简洁的方法。 例8（2006年全国Ⅰ卷）在数列中，， 。求首项与通项。 分析：由题意得，解得。又，即，设，利用待定系数法可得，又，所以数列是公比为4的等比数列。所以，得。 取倒数 不动点法：对于形如的递推式求解通项，可利用特征方程，若此方程有两不相等的实根，则可构造数列等比，若此方程有两相等的实根，则可构造等差数列，从而解得的表达式。 ，求数列的通项公式。 析：两边同除以的系数的n+1次方，构造新数列。 六.归纳、猜想、证明求通项（需用到数学归纳法） ， ， 下面用数学归纳法证明猜的正确性: ＝ ， ＝ ， 也就是说对n=k+1 时，猜想正确。 综上（i）(ii) 可知， 说明：由递推关系式可以求出数列前几项，由这几项先猜想其通项公式，最后用数学归纳法证明其正确性。因为数列通项公式是与自然数n有关问题，所以用数学归纳法证明。由数列递推关系式求通项，一般可以用此法。 七、不动点的渗透 在几年高考试卷中，不动点的知识应用频率非常高，对于形如的递推式求解通项，可利用特征方程，若此方程有两不相等的实根，则可构造数列等比，若此方程有两相等的实根，则可构造等差数列，从而解得的表达式。 例13（2006年全国Ⅱ卷）设数列的前项和为，且方程有一根为。求数列的通项公式。 分析：易得，且，将代入上式，得，利用特征方程解得，可构造，则，且，所以数列是公差为的等差数列。故，所以，因此数列的通项公式为。 中小学教育资源交流中心 提供 5