《拉普拉斯定理.docVIP

复习拉普拉斯变换的有关内容 1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 复函数 例： （2）复函数模、相角 （3）复数的共轭 （4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。 2 拉氏变换定义： 3 几种常见函数的拉氏变换 ⑴ 单位阶跃： 指数函数： 正弦函数： （欧拉公式） 4　拉氏变换的几个重要定理 （1）线性性质： （2）微分定理： 零初始条件下有： 例：求 解： （3）积分定理： （证略） 零初始条件下有： 进一步有： 【】 例：求L[t]=? 解： 例：求 解： （4）位移定理 实位移定理： 例： 解： （5）复位移定理： （证略） 例：求 例： 例： （6）终值定理（极限确实存在时） 证明：由微分定理 取极限： 　∴有：证毕 例： 求 例： 拉氏变换附加作业 已知f(t),求F(s)=? 二．已知F(s),求f(t)=? 5. 拉氏反变换 (1) 反变换公式： (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 微分方程一般形式： 的一般表达式为： （I） 其中分母多项式可以分解因式为： (II) 的根(特征根)，分两种情形讨论： ⑴：无重根时：(依代数定理可以把表示为：) 即：若可以定出来，则可得解：而计算公式： (Ⅲ) (Ⅲ′) (说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) ) ● 例2： 求 解： ● 例3： ，求 解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法) ● 例4： 解法一： （） 解法二： ⑵：有重根时： 设为m阶重根，为单根 .则可表示为： 其中单根的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算. 重根项系数的计算公式：(说明原理) ●例5 求 解：