《任意角的三角函数.docVIP

任意角的三角函数 一、教学目标： 1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法； 3、了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切 函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来； 4、掌握并能初步运用公式一； 5、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 第一课时 任意角的三角函数（一） 【创设情境】 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为 函数值的函数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐 x 标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则; ; . 思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： ; ; . 思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 【探究新知】 1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1)叫做的正弦(sine),记做,即； （2）叫做的余弦(cossine),记做,即； （3）叫做的正切(tangent),记做,即. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在），从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,, .所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.例题讲评 例1.求的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例2:设则. 于是 ,,. 5.巩固练习第1,2,3题 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中： 三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角度制 弧度制 7．例题讲评 例3．求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角. 8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: (其中) 9.例题讲评 例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1); (2); (3); (4) 例5.求下列三角函数值: (1); (2); (3) 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求到(或到)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习第4,5,6,7题 11.学习小结 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域； (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计 1．作业：习题1.2 A组第1,2题． 2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导