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代数几何系列选课指南 概述：代数几何系列面向全校博士、硕士研究生共开设5门数学课，《矩阵理论》，《矩阵分析》，《应用近世代数》，《图与网络》和《拓扑学概论》。 在微积分诞生之前，代数和几何就代表了整个数学。即便与分析数学有关的各分支几乎占了数学的半壁河山的今天，代数和几何自身的发展仍是十分强劲，从内容到方法，都有了彻底的变化，其深刻的思想影响着其它数学分支，促进了整个数学的发展；并且加快了向其它分支的渗透和组合，形成了许多新的交叉领域。 代数学是研究代数运算的数学分支。最简单的代数运算是算术运算，对象是正整数和正有理数，这是小学生的学习内容。延续到17-18世纪，代数学演变为在代数符号上进行运算，出现了代数方程，今天中学生的代数就是解简单代数方程。18-19世纪时，多项式和代数方程成为代数学的主旋律。由一个变量的高次代数方程的研究伴随着多个未知数的代数方程，特别是线性方程组的研究导致了矩阵和行列式概念的引入，发展至现代，线性代数和矩阵代数已经成为研究有限维线性系统的强有力的武器。 一般称初等代数，高等代数和线性代数（还含矩阵代数）为经典代数。 19世纪中叶后，代数学发生了一次重大转变，它最终从方程论转向研究代数运算。代数学与代数运算的近代观点在D.Hilbert 等人的影响下，于20世纪初得到明确，1930年，Waerder的《近世代数》的问世确定了近代代数学的主要内容：集合(或代数结构)和作为代数运算的载体的集合上的代数运算。现在得到充分研究并得到广泛应用的代数集合有群、环和域，以及格，模等。在这以后，代数学除了自身的深入发展外，它对其它学科领域迅速渗透，以代数为特色的边缘性学科和应用学科不断出现，例如，数论上有代数数论，代数几何，代数函数论等，代数拓扑上有同调代数等以及张量代数，李代数等，尤其是群和线性空间的概念的普及和渗透之广泛性，更是极大地为抽象的数学走向实际应用铺平了道路。 代数学不论在过去还是现在，其作用极端重要，当代数学的进一步“代数化”是一种趋势。研究许多数学对象的一个典型方法是构造适宜于表达这些对象行为的代数系统，把问题翻译成代数语言，然后用代数语言解决它们，再将代数语言翻译过去。 藉助于代数化，可使用形式的代数计算这个有力工具去解决问题，所以有时可克服高度困难的问题。大家在中学和大学的学习中，肯定已体会到代数的重要作用。代数学在数学中的作用可与近代计算机在解决实际问题中的作用相比拟。在数学内部，代数的概念和方法广泛应用于数论，泛函分析，微分几何，射影几何，张量代数等等。 大家都知道，几何研究空间形式，值得一提的是，几何学属于最早提出公理化并实现公理体系的一个数学分支。欧几里德在2000多年前就以著名的5条几何公理严密地推演证明了欧氏几何，令人叹为观之。今天中学初等几何的定理几乎和那时的差不多，只是叙述形式现代化而已。这样的情况在数学其它分支极为少见，因为几乎所有同一名字的数学书，100年的时间间隔足以使它们面目全非。欧氏几何的公理化道路为20世纪数学的公理化树立了精彩的榜样。 几何学的一个飞跃，发生在16世纪解析几何诞生之时。一方面解析几何把当时的代数方法引入几何图形的研究，改变了传统几何的演绎方式；其二则是坐标系的发明，使得运动的研究成为可能，为变量数学（即高等数学）的启动打响了关键的第一枪。之后，（经典）微分几何，射影几何相继问世，非欧几何的出现更成为一个与根深典故的几何直观观念“离经背道”的典型而震惊数学界，大大地激发了新“数学思维”的不断涌现，成为推动数学前进的原动力。非欧几何在它问世几十年后，20世纪初终于被爱因斯坦的广义相对论所证实。正是非欧几何之一——黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提供了最恰当地数学表述，而根据广义相对论所进行的一系列天文观察、实验，证实了宇宙流形的非欧几里德性，对宇宙来说，或在物质的高速运动下，时空会发生改变，不再像我们平时生活中感觉到是“平直性”的，而是属于非欧的，比如“弯空间”。 19世纪中叶后，产生了各种新几何，加上与非欧几何平行发展的高维几何等以及较晚出现的拓扑学等，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一地观点解释之，成为数学家们追求的目标。德国Klein提出的爱尔朗根纲领和以后Hilbert提出的意义深远的公理化方法，是统一几何学的两条途径，特别是后者，20世纪中已经远远地超出几何的范围而成为现代数学甚至某些物理学中普遍应用的科学方法。 现代的几何学由研究图形转变为对空间的研究，流形（manifold）成为一种广泛的几何研究对象，当其赋于不同结构，即可产生不同理论。欧氏空间是平凡（特殊情况）流形。流形有拓扑流形和微分流形。几何对数学发展的贡献已不仅仅在几何本身，它的思想和方法论对整个数学的影响和启发是极其深刻的，例如，泛函分析中重要的概念“空间”就源于几何