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第四章 连续系统的频域分析 时域分析中，将任意信号分解成冲激函数的加权积分； 变换域分析中，将任意信号分解成虚指数函数的加权积分； 将任意信号表示为不同频率正弦分量的线性组合称为信号的频谱分析； 用频谱分析的观点来分析系统称为系统的频域分析法或傅里叶变换分析法。 4.8 LTI系统的频域分析 如何保证信号经过系统不会失真？ 如何根据要求设计系统函数？ 什么系统函数是理想函数？ 如何将设计的理想的系统函数变为物理可实现的？ 解: 例15： 依频域的微分性质， 4.5 傅里叶变换的性质 例16： 解: 求 的值。 4.5 傅里叶变换的性质 九、帕斯瓦尔方程（能量等式） 证明： |F(jω)|2 为单位频率上的信号能量 (能量密度谱）。 4.5 傅里叶变换的性质 例17： 求信号 解: 的能量。 例18： 4.5 傅里叶变换的性质 十、相关定理 若 则 相关定理： 两个信号相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的 傅里叶变换与另一信号傅里叶变换的共轭之乘积。 4.5 傅里叶变换的性质 傅里叶变换性质的补充例题 1.若 ， 求 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 傅里叶变换性质的补充例题 4.6 能量谱和功率谱 4.6 能量谱和功率谱 一、能量谱 二、功率谱 4.6 能量谱和功率谱 周期信号： 非周期信号： 周期信号的傅里叶变换如何求？ 它与傅里叶级数的关系？ 4.7 周期信号的傅里叶变换 4.7 周期信号傅里叶变换 一、正、余弦函数的傅里叶变换 4.7 周期信号傅里叶变换 二、一般周期信号的傅里叶变换 ?关键：计算 4.7 周期信号傅里叶变换 (1) 的频谱由无穷多个冲激函数组成； (3)冲激的强度正比于傅里叶级数系数，为 的 倍。 (2) 只存在于 处； 4.7 周期信号傅里叶变换 例1：周期为T的单位冲激周期函数 解： 求其傅里叶变换。 4.7 周期信号傅里叶变换 例2：已知 求其傅里叶变换。 解：周期信号可以展开成指数形式的傅里叶级数： 可见 由于 故 4.7 周期信号傅里叶变换 例3：周期信号如图，求其傅里叶变换。 解：周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的 周期拓展。即 4.7 周期信号傅里叶变换 这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。 卷积定理， 4.7 周期信号傅里叶变换 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。 周期信号： 非周期信号： 基本信号: 4.8 LTI系统的频域分析 4. 冲激函数?(t)、?′(t) 4.4 傅里叶变换 5. 常数1 有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，?(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列{fn(t)}逼近f (t) ，即 而fn(t)满足绝对可积条件，并且{fn(t)}的傅里叶变换所形成的序列{Fn(j?)}是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F (j?)为 这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。 4.4 傅里叶变换 所以 构造 时域无限宽，频域无限窄 4.4 傅里叶变换 另一种求法： ?(t)←→1代入反变换定义式，有 将?→t，t→-? 再根据傅里叶变换定义式，得 4.4 傅里叶变换 6. 符号函数 4.4 傅里叶变换 7. 阶跃函数 ?(t) 4.4 傅里叶变换 归纳记忆： 1. 傅里叶变换对 4.4 傅里叶变换 2. 常用函数傅里叶变换对： gτ(t) sgn (t) 1 1 4.4 傅里叶变换 4.5 傅里叶变换的性质 4.5 傅里叶变换的性质 一、线性 若 证明： 则 例1： 解： = - 4.5 傅里叶变换的性质 二、时移性质 证明: 若 则 t0为常数 4.5 傅里叶变换的性质 + 例2： = 解: 4.5 傅里叶变换的性质 三、对称性质 证明: 将上式中的自变量t 换为 –t ,得: 将上式中的t换为w, 将原有的