《三角形的心.docVIP

重心定理 　　 ?? ly天才贡献 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 　　三角形的重心是各中线的交点，重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。 　　假设有n个物体组成的物体系，重量为wi,位于ri（矢量，下同）,i=1,2,...n. 则这个物体系的重心为r: 　　r=(w1r1+w2r2+...wnrn)/(w1+w2+...+wn) 　　这就是最一般的重心计算公式 　　物理学中可以使用微积分求出中心所在坐标。 　　如果知道A（x1，y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3，z3）。则其重心的坐标就为{(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3,(z1+z2+z3)/3} 　　利用三角形的相似性可以很快得到证明。 　　△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 　　∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。 　　∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH/AE=DH/BE=HF/EC, BE=EC, ∴DH=HF) 　　∴HF=DF/2 , BE=BC/2， 又可由①知HF=BE/2 　　∴HF//BE. 　　又∵∠BGE=∠FGH。 　　∴△BGE∽△FGH 　　∴BG/GF=BE/HF=2。 　　∴BG=（2/3）BF 　　同样，利用公边定理及三角形的等高可轻易求得三条中线分得的六个三角形面积相等，通过面积亦可证明。 目录定义 三角形外心的性质 定义 　　三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心． 　　三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上. 三角形外心的性质 　　设ABC的外接圆为G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1：（1）锐角三角形的外心在三角形内； 　　（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； 　　（3）钝角三角形的外心在三角形外. 　　2：BGC=2∠A，（或BGC=2(180°-∠A). 　　3：点G是平面ABC上一点，那么点G是ABC外心的充要条件是： 　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 　　4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是ABC外心的充要条件是： 　　（1）向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 　　或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 　　5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。 　　6：R=abc/4SABC. 正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。垂心 　　三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 　　锐角三角形垂心在三角形内部。 　　直角三角形垂心在三角形直角顶点。 　　钝角三角形垂心在三角形外部。 　　垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点。 　　三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 口诀 　　三角形上作三高，三高必于垂心交。 　　高线分割三角形，出现直角三对整， 　　直角三角有十二，构成九对相似形， 　　　四点共圆图中有，细心分析可找清， 三角形垂心的性质 　　设ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、 ?? C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．　 　　1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.　 　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；　 　　3、 垂心H关于三边的对称点，均在ABC的外接圆上。　 　　4、 ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。　 　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。　 　　6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圆是等圆。　 　　7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。　 　　8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍