《三角形内角和定理的证明教案.docVIP

第六课时 ●课 题 §6.5 三角形内角和定理的证明 ●教学目标 （一）教学知识点 三角形的内角和定理的证明. （二）能力训练要求 掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力. （三）情感与价值观要求 通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲. ●教学重点 三角形内角和定理的证明. ●教学难点 三角形内角和定理的证明方法. ●教学方法 实验、讨论法. ●教具准备 三角形纸片数张. 投影片三张 第一张：问题 第二张：实验 第三张：小明的想法●教学过程 Ⅰ.巧设现实情境，引入新课 问题：工人师傅将凹型零件（图6－34）加工成斜面EC与槽底CD成55°的燕尾槽（图6－35）的程序是：将垂直的铣刀倾斜偏转35°角（图6－5），就能得到55°的燕尾槽底角. 图6－34　　　　　　　图6－35　　　　　　　图6－36 为什么铣刀偏转35°角，就能得到55°的燕尾槽底角呢？ Ⅱ.讲授新课 用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C为定点，A为动点（如图6－37），放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？ 图6－37 得出结论：当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°。三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的。三角形的最大内角不会大于或等于180°。 当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°. 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折， 使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果. （1） （2） （3） （4） 图6－38 实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起. 得出：三角形的内角之和正好为一个平角. 但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？请同学们再来看实验. 图6－39 这里有两个全等的三角形，我把它们重叠固定在黑板上，然后把三角形ABC的上层∠B剥下来，沿BC的方向平移到∠ECD处固定，再剥下上层的∠A，把它倒置于∠C与∠ECD之间的空隙∠ACE的上方. 这时，∠A与∠ACE能重合吗？ 图6－40 已知，如图6－40，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则 ∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等） ∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等） ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°） ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换） 即：∠A+∠B+∠C=180°. 在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线CE，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和定理. 小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.大家来议一议，他的想法可行吗？ 图6－41 在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.（如图6－41）他的想法可行吗？ 你有没有其他的证法. 小明的想法可行.因为： ∵PQ∥BC（已作） ∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等） ∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°（1平角=180°） ∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换） 图6－42 也可以这样作辅助线.即：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C（如图6－42）. 也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这样也可证出定理. 即：如图6－43，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F. ∴四边形AFDE是平行四边形（平行四边形的定义） ∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等） ∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等） ∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等） ∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1平角=180°） ∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换） Ⅲ.课堂练习 （一）课本P196随堂练习1、2. 图6－44 1.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论. 答案：90° 60° 如图6－44，在△ABC中，