优·第三章 隧道施工三维数值模拟.doc

第三章 隧道施工三维数值模拟 本章主要介绍非线性有限元方程组的解法，岩体的弹塑性理论，乌鞘岭隧道F7断层施工模型和结果分析。 第一节 非线性有限元方程组的基本解法 采用数值方法分析结构时，将结构离散化后可以得到如下的代数方程组： (3.1) 式中：为结构的总刚度矩阵；为未知数（位移等）向量；为外荷载向量（）。 当总刚度矩阵中的元素为常量时，式（3.1）为线性方程组，它所代表的问题为线性问题。当为变量时，例如，则式（3.1）为非线性方程组，它所描述的问题为非线性问题。 材料非线性指的是当应力超过某一极限值后，应力与应变的变化不成线性关系，但应变与位移的变化仍为线性关系。属于这种类型的问题称为材料非线性问题。 几何非线性指的是当应变或应变速率超过某一极限值后，应变与位移的变化不成线性关系，但应力与应变的变化仍成线性关系。属于这种类型的问题称为几何非线性问题。 在有些情况下，非线性问题含着材料非线性又包含着几何非线性的特征。非线性问题的最常用的求解方法是：直接求解法、牛顿法、修正的牛顿法以及增量法。 3.1.1 直接迭代法 设在第r次迭代运算中： (3.2) 式中：为残余（不平衡）力向量，且；为第次迭代中采用的总刚度矩阵，且；为第次迭代中的节点位移向量。 则在第次迭代中，按下式计算改进的位移向量值： (3.3) 若在迭代过程收敛，则当时，精确解，。 直接迭代法适用于求解很多场问题，但不能保证迭代过程的收敛。 3.1.2 牛顿法—切线刚度法 若式（3.1）的近似解为，则可以将第次迭代所得到的改进解作为新的变量，利用泰勒级数将函数展开，取前两项之和得到： (3.4) 式中： (3.5) 其中为切线刚度矩阵，而： (3.6) 改进的位移向量可根据位移增量向量算得，后者按下式求解： (3.7) 然后进行下一步迭代，直到收敛为止。应该指出的是，只要初始刚度矩阵是对称矩阵，则切线刚度矩阵将始终保持为对称矩阵。而在大变形下的割线刚度矩阵则不一定能保持这种对称性。 3.1.3 修正的牛顿法—初始刚度法 在式（3.7）中，令： (3.8) 则式（3.7）可写成： (3.9) 因此，在每次迭代中不需要重新计算总切线刚度矩阵。达到收敛的迭代次数一般要多于切线刚度法，但总的计算时间并不一定增加，因为采用切线刚度法时原则上每次迭代都必须重新计算体系的切线总刚度矩阵。对于材料应变软化以及体系中塑性区域发展较大的情况，采用初始刚度法仍能取得迭代求解的收敛，而在这种情况下采用切线刚度法则难以甚至不能达到收敛。 3.1.4 混合法 该法是切线刚度法与初始刚度法联合使用的方法。为此必须采用增量加荷的方法，将总荷载分成几级，逐级加荷。在每一级荷载作用下采用一种初始刚度进行迭代运算，达到收敛后在施加下一级荷载，并采用新的切线刚度矩阵进行迭代运算。如此重复计算，直到收敛到总的荷载为止。 3.1.5 求解非线性问题的收敛正则 判断求解非线性问题迭代运算过程是否收敛的准则如下。 ⑴ 残余力向量范数逐渐减小表示运算过程趋于收敛： (3-10) 式中：为向量的二范数。 ⑵ 位移增量向量范数逐渐减小表示运算过程趋于收敛： (3-11) ⑶ 残余力向量范数与体系外荷载节点力向量之比小于规定值，表示收敛： 　　　　　　　　　　(3-12) 式中：为容许值，一般可以取；为体系的自由度总数。 ⑷ 节点位移增量向量的范数与节点总位移向量的范数之比小于规定值，表示收敛： 　　　　　　　　　(3-13) 式中：节点总位移为各级荷载作用下所产生的位移。 实践经验表明，为了得到非线性问题的收敛解，采用分段加荷和分段收敛是有效的。为了加速收敛过程，还可以采用一些特殊的技巧，例如在牛顿法和修正的牛顿法中采用“超松弛