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函数零点的研究 作者：孙涛涛 指导老师：岳素芳 摘要 解决函数零点的问题的多常见于介值定理，还有罗尔中值定理、费马定理等，很多时候要讨 论函数零点的存在性，确定函数零点的数量，利用介值定理、中值定理、最值来证明相关的问题；函 数零点涉及到很多方法：如等价转化、函数方程、数形结合等思想方法,还有近似求函数零点方法— 二分法这些成为求函数零点的基本策略. 关键词 介值定理 求零点的方法 零点的存在性 1引言 函数零点问题是微积分中比较常见,也是比较难解决的问题 本文就连续函 数及导函数零点问题进行讨论 在讨论函数零点存在时,本文将零点定理进行推广并得到有用的结果 在讨论导函数零点时,本文给出构造辅助函数的许多种方法 这对解决导函数零点问题提供了许多方便 最后本文讨论了多元函数的零点问题. 定义：如果存在实数,使,则称为函数的零点 函数的零点又称为方程的实根. 讨论函数零点的存在性 ,确定函数零点的数量 ,统称函数的零点问题. 函数零点问题常常与连续函数介值定理 ,导函数介值定理 ,微分与积分中值定理,函数单调性 ,函数的极（最）值以及函数渐近性态联系在一起 讨论函数零点问题 ,导函数零点问题时,零点定理和罗尔定理分别占有重要地位. 连续函数的零点问题 在 区间上连续 ,讨论在上零点的存在性,惟一性及零点数量. 存在性 定性考虑，取，若且，则由的连续性及零点定理可以确定，使，即有零点. 定量考虑，若能确定，使，则由的连续性及零点定理可以确定，使，即有零点. 若函数值异号条件隐蔽时,确定，使是 比较困难的 ,这时根据题设条件一般有如下方法去确定. （1）如果曲线凹凸性已确定（符号），可以过定点作曲线的一条切线，得到切线与轴的交点，若曲线向上凹则；若曲线向上凸 ,则； （2）将在定点展成泰勒公式 ,据题设条件可以得到有关的不等式,借助此不等式可以确定，使或. (3) 据题设条件有时考虑的最大、最小值,往往也能确定，使或. 介值定理是解决函数零点(或方程的根)存在性问题的基本方法，无论在理论上还是应用上，函数零点（实根）的存在性都是一个重要课题。微积分的理论和方法，则是解决这个问题的有利工具。有时使用连续函数的介值定理就可以直接求得结果，但在难以确认正值点与负值点的存在性时，就需要改用其他的方法间接求得，比如积分中值定理，罗尔中值定理或者费马定理等方法去求. 讨论函数零点的存在性，可以采用以下方法。 方法1 对使用零点定理：若且，则，使. 连续函数在上满足，则函数在区间内存在零点. 例1 函数的零点所在区间是 解 令，，可知、在R上都是增函数，则函数在定义域上是增函数.由，=-20，，，可得. 所以零点所在的区间为 总结：在运用函数零点定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号时，无论这个函数的单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；二是函数的零点定理只能判断函数在一个区间上的零点的存在性，而不能判断在这个区间上零点的个数. 方法 2 对使用积分中值定理：若且，则，使.（因为由积分中值定理，） 例2 设在[0,1]上连续，在（0,1）上可导且满足证明至少存在一点，使得 证明 设有积分中值定理至少存在一点，使得，又由在上满足罗尔定理条件知至少存在一点，使得，即也就是 方法3：对原函数使用罗尔中值定理:若在上，且，则，使.（由罗尔定理，） 例3 设，证明，使. 证明 （用罗尔定理） 也可以对原函数用罗尔定理来证明. 令，则。 由罗尔定理，，使. 方法4 对原函数使用费马定理：若在上，且在内取得极值，则，使.（由费马定理，） 例4 设在上，证明至少存在两点，使 证明（用费马定理） 由（在点的右领域），从而由此不是在上的最大值； 当然，也不是最大值，最大值必在内取得，即，使，由费马定理有，即. 类似的，由可证使，由费马定理，. 方法5 用介值定理证明. 例5 设函数在上连续，，证明，使. 证明 由于要证的是， 可作辅助函数. 要证使.在连续，且 若则有介值定理，使。 若，则或，使. 方法6 利用导数. 例6 设函数在处可导 且对任意的实数、满足方程，证明：. 证明
由条件知，于是对于任意的实数，，故，令=0，得,所以. 方法7 利用最值. 例7 假设在上可微 ,若则在内至少一个根. 证明 因故对于充分小的正数，，对于函数不可能在点取得最小值；同理函数也不会在点取得最小值，所以它的最小值只能在取得，由极值的必要条件知在内至少有一个根. 2.2 零点数量 依据异号函数值或驻点,划分区间讨论零点的存在性及惟一性 ,是确定函数零点数量的基本方法之一. 下面由例题具体讨论函数的零点问题. 例1 在上二阶可微，，则在内只有一个实根。 证明 存在性