《随机变量及其分布.docVIP

第二章 随机变量及其分布 【基本要求】1、了解随变2、理解离散型随变量质3、理解连续随变数质4、理解分布函数质5、会数数计关6、会简单随变数点随变量连续随变数（质们数质随变数难点随变量质连续随变数数质关计学时1”代表正面，“0”代表反面，为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。 一般地，如果为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系： 这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，使之与数值发生联系。 为了全面的研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。 引例：随机试验E1：从一个装有编号为0，1，2，…，9的球的袋中任意摸一球。则其样本空间={，，…，}，其中“摸到编号为的球”，=0,1,…,9. 定义函数 ：，即()=，=0，1，…，9。 这就是和整数集{0，1，2，…，9}的一个对应关系，此时表示摸到球的号码。 从上例中，我们不难体会到： ①对应关系的取值是随机的，也就是说，在试验之前，取什么值不能确定，而是由随机试验的可能结果决定的，但的所有可能取值是事先可以预言的。 ②是定义在上而取值在R上的函数。 同时在上例中，我们可以用集合{：()5}表示“摸到球的号数不大于5”这一随机事件，因而可以计算其概率。习惯上我们称定义在样本空间上的单值实函数为随机变量。这就有了如下定义： 定义，=(e)是定义在上的单值实函数，若对任意实数，集合{：()x}是随机事件，则称=()为随机变量（Random Variable）。 定义表明随机变量=()是样本点的函数，为方便起见，通常写为，而集合{：()x}简记为{x}。 如在上例中，摸到不大于5号球的事件可表示为{5}，则其概率为P{5}=3/5。 随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究。正因为随机变量可以描述各种随机事件，使我们摆脱只是孤立的去研究一个随机事件，而通过随机变量将各个事件联系起来，进而去研究其全部。今后，我们主要研究随机变量和它的分布。 随机变量的分类 §2.2 离散型随机变量的概率分布 1.定义是上的随机变量，若的全部可能取值为有限个或可列无限个（即的全部可能取值可一一列举出来），则称为离散型随机变量。 若的取值为，把事件的概率记为，则称为的分布律。 【注】：由定义可知，若样本空间是离散的，则定义在上的任何单值实函数都是离散型随机变量。 2.离散型随机变量的分布律满足下列性质： (1)非负性： (2)规范性： 分布律也可用表格形式表示出来 X 如抛硬币试验 X 0 1 例1的概率允许或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律。 解：以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，易知X的分布律为 X 0 1 2 3 4 或写成 以代入得 X 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 下面介绍三种重要的离散型随机变量的概率分布 1.（0—1）分布 设随机变量X只可能取0和1两个值，它的分布律是 则称X服从（0—1）分布. （0—1）分布的分布律也可写成 X 0 1 满足（0—1）分布的试验应该只有两个结果。 2. 二项分布： 设试验E只有两个可能的结果：A及，.将E独立地重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验，简称贝努利试验 例：用X表示n次试验中A发生的次数，用表示A在第i次试验中发生 应共有种，它们是两两不相容的，故在n次试验中A发生k次的概率为，即 显然 注意到刚好是二项式的展开式中出现的一项。故我们称随机变量X服从参数为n，的二项分布，记为 特别，当时二项分布化为 这就是（0—1）分布 例2 某人进行射击，设每次射击的命中律为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。 解：将每次射击看成一次试验。射击中的次数为X，则.X的分布律为 于是所求概率为 直接计算上式是麻烦的。下面给出一个定理 3.泊松定理 设是一常数，n是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数k，有 显然，定理的条件（常数）意味着当