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讲义 高等数学—考研 第一章　函数、极限、连续 　　函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。 第一节　数列极限与函数极限 　　【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：　　；　　洛必达（）法则。　　【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。　　【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。　　一、数列的极限　　1.数列的极限　　无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。设有数列 和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当nN时，恒有，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。　　2.极限存在准则　　（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有， 则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论. 　　（2）定理：单调有界数列必有极限. 　　3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。　　（2）。（3）。　　【考点一】（1）单调有界数列必有极限. 　　（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.　　（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.　　【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。　　（2）判定数列的单调性主要有三种方法：　　Ⅰ计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。　　Ⅱ当时，计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。　　Ⅲ令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。　　【例1·证明题】设数列满足证明数列的极限存在并求极限.　　【答疑编号911010101】　　1.X00　　∵X00 ,　　假设 Xn0 , n≥2 ∵ Xn0 , 　　∴假设成立　　∵ Xn0 , 　　∴, n≥1 　　，n≥1 时　　∵　　　　　　　　　　　　　　　　 　　∴Xn+1≤Xn 且　　令，　　因为，由极限的保号性知　　令n→∞，　　 　 　　　↓　　　　　　　　 　　∵　　∴a2=2　　　　【例2·证明题】设f（x）是区间上单调减少且非负的连续函数，　　，证明数列的极限存在。　　【答疑编号911010102】　　例2 ∵f（x）↓且 f（x）≥0　　　　＝　　　　∵ f（x）↓　　 　　 　　 　　又∵ f（x）≥0　　≥0　　　　　 　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　≤0　　∴　an≥0 ， 且an+1≤an　　 　 　　　　↓　　存在　　【考点二】（夹逼准则）设有正整数，当时，，且，则.　　【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。　　【例3·计算题】计算极限：　　【答疑编号911010103】　　例3　　∵　　∴ SinX≥0 ,　　∴　　∴　　根据积分的不等式定理若在[a ，b] f（x）≥g（x），则。　　∴　　∴　　　↓ 　　　↓　　　　 ↓令n→∞0 　　　0 　　　　 0　　　　（取右端点）　　 　　（取左端点）　　【考点三】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有，　　 　　【例4·计算题】求下列极限：　　【答疑编号911010104】　　　　 　　　　　　【例5·选择题】等于（　）　　　　　　【答疑编号911010105】　 　　　【考点四】设，则。也就是说，将数列中的正整数改为连续变量，令，则数列的极限等于相应的函数的极限。综合题也很重要。　　 　　【例