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泰勒公式的一些应用 姓名：刘俊强 学号：200640501213 指导教师：马玉田 摘要：泰勒公式在分析研究数学问题方面，有着重要的应用。本文讲述了泰勒公式在求不定式的极限,近似计算，级数和广义积分的敛散性，函数不等式的证明等几个方面的应用. 关键词：泰勒公式 极限 近似计算 敛散性 不等式 证明 引言 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢？ 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是有用的工具. 一 泰勒公式 泰勒公式：若函数在点存在n阶导数，则有 证明：设 （1） 现在只要证明 由关系式（1）知 并易知 因为存在，所以在点的某邻域内存在n-1阶导数.于是，当且时，允许接连使用洛必达法则n-1次，得到 故 即证. 泰勒公式是一元微积分的一个重要内容.不仅在理论上占有重要地位，在近似计算，函数的性质研究等方面也有着重要的应用。泰勒公式在求不等式的极限，近似计算，级数和广义积分的敛散性，函数不等式的证明等问题的解决过程中，起到化繁为简的作用.下面试举几例，以作证明. 二.泰勒公式的应用 （一） 求极限： 例1 ：求的极限. 解：因为分母为，故分子的泰勒展开式中取n=3. 注：此例也可以用洛必达法则求解，但由于分子，分母需要求三阶导数，且分子求导较繁琐.故不可取. （二） 近似计算： 例2 求的近似值. 分析：求该数值，在平常需要查表.若应用泰勒公式，能方便的求出其近似值. 解： 由可以得到 此时误差为 例3 计算的值，使其误差不超过. 解：由 得 当时 （） 故，当时，便有 从而略去而求得的近似值为 注：泰勒公式在求近似值的过程中，突破了查表和应用微分求近似值的局限.计算更加精确，可以满足在精密仪器设计过程中的计算需要. （三） 讨论级数和广义积分的敛散性： 例4 讨论级数的敛散性. 解：由比较判别法可知：若， 则正项级数和正项级数同是收敛和发散.为了选取中的的值，可以用泰勒公式研究通项的阶. 当时 正项级数收敛. 故收敛. 即证. 又如 研究广义积分的敛散性. 解： 是瑕点 由比较判别法可以知道 ， 则时，收敛；当时，发散. ，因为，所以广义积分发散。 注：从以上两例可知，级数与广义积分的联系比较密切，结论类似. （四） 不等式的证明： 例5 设在区间内二阶可导，且，则 其中均为正数；。 证明：记，则。 由于在区间内二阶可导，故在点处一阶泰勒公式成立. ，在与之间。 因为， ，所以 分别取，则有 ; ; . 以上各式分别乘以，得 ; ; . 将上面n个不等式相加得 . 因为， 所以. 即. 从而 . 即证。 注：利用泰勒公式证明函数不等式，主要有两步： 构造一个函数，选一个展开点，然后写出在处带有拉格朗日余项的泰勒公式； 根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或者三角不等式对进行放缩.如： 设函数在点附近二阶可导，由泰勒展式显然有结论： （1）若，则有； （2）若，则有. （五） 求高阶导数： 例6 写出的麦克劳林公式，并求与. 解： 因 （1） 用替换（1）中的，使得 , 由泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为 ， . 由此得到 ， . （六） 求麦克劳林公式： 例7 求=在处的迈克劳林公式展开形式. 解：首先作分解 再转化成： 三．总结 从上述实例中可以看出，泰勒公式在微积分的各个方面都有重要的应用.但在应用泰勒公式时需要注意: 一般将函数展开成为比最高阶导数低一阶即可； 恰当选择等式两边的与. 参考文献： 【1】华东师范大学数学系。数学分析（上） .北京：高等教育出版社，2001. 【2】孙本