泰勒公式及其應用典型例题.docVIP

?? 泰勒公式及其应用 常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。 【问题一】 设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的??次多项式 近似? 【问题二】 若问题一的解存在，其误差的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数。 ? ? ? ? …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出： 于是， 所求的多项式为： ?(2) 二、【解决问题二】 泰勒(Tayler)中值定理 若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成 这里是与之间的某个值。 先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路： ?? 这表明： 只要对函数??及?在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。 【证明】 以与为端点的区间或记为?，?。 函数??在上具有直至??阶的导数， 且?? 函数??在上有直至阶的非零导数， 且?? 于是，对函数??及??在上反复使用??次柯西中值定理， 有 三、几个概念 1、 此式称为函数按的幂次展开到?阶的泰勒公式； 或者称之为函数在点??处的??阶泰勒展开式。 当??时， 泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。 ?为拉格朗日余项。 2、对固定的，若? 有?? 此式可用作误差界的估计。 故?? 表明： 误差是当?时较??高阶无穷小， 这一余项表达式称之为皮亚诺余项。 3、若，则在??与?之间，它表示成形式???， 泰勒公式有较简单的形式 ——?麦克劳林公式 ? 近似公式 误差估计式 【例1】求的麦克劳林公式。 解：? ， ?于是?? 有近似公式???? 其误差的界为?? 我们有函数?的一些近似表达式。 (1)、????(2)、??(3)、 在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。 【例2】求??的?阶麦克劳林公式。 解： 它们的值依次取四个数值?。 其中：??? 同样，我们也可给出曲线??的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。 ??????????? 【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。 解： ????? 于是：? 利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”，?使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。 【例4】利用泰勒展开式再求极限?。 解：，??? 【注解】 现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为，从而 当时，，应为?? 【例5】利用三阶泰勒公式求?的近似值， 并估计误差。 解： 故：