二阶导数的意义.docVIP

二阶导数的意义 二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下： （1）斜线斜率变化的速度表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性。  结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。在二阶可导，且． (1) 若，则在取得极大值； (2) 若，则在取得极小值． 例 试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值． 解 ． 由假设知，从而有，即． 又当时，，且 ，所以在处取得极大值，且极大值． 例 求函数的极大值与极小值． 解 在上连续，可导．令 ， 得 和， 思考： 在取得极大还是极小值？在取得极大还是极小值？ -1代入二阶导数表达式为-12，在取得极大值 3代入二阶导数表达式12，在取得极小值 三、函数图像凹凸定理 若在内二阶可导， 则曲线在内的图像是凹曲线的充要条件是，． 曲线在内的图像是凸曲线的充要条件是，。 几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况．但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同．如图1—1中的曲线为向下凸，而图1—2中的曲线为向上凸． 图 1—1 图 1—2 定义4.5.1 设在内可导，若曲线位于其每点处切线的上方，则称它为在内下凸(或上凹)；若曲线位于其每点处切线的下方，则称它在内上凸(或下凹)．相应地，也称函数分别为内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)． 从图1—1和图1—2明显看出，下凸曲线的斜率(其中为切线的倾角)随着的增大而增大，即为单增函数；上凸曲线斜率随着的增大而减小，也就是说，为单减函数．但的单调性可由二阶导数来判定，因此有下述定理． 定理4.5.1 若在内二阶可导，则曲线在内下凸(凹函数)的充要条件是 ． 例1 讨论高斯曲线的凸性． 解 ，．所以 当，即当或时； 当，即当时． 因此在区间与内曲线下凸；在区间内曲线上凸． 四川高考数学2006——理22压轴题 22，已知函数，证明f(x)的导函数f’(x)对于任意两个不相等的正数x1，x2，当时，有 证法一：由 = 比较大小，会算吗？ 二阶导数QM法： 欲证 即证函数图像是凹的， 只需证f’’(x)0，() 问题得证