《概率论》第一章基本概念教材.ppt

从而A中所包含的样本点数为： a(a+b-1)! 所以 解二: 而考虑A的发生时仍分为两步： 从a个黄球中任取出一个放到第k个位置， 有1种方式； 例3 袋中有大小相同的a 个黄球，b 个白球．现将球从袋中一一随机摸出来，试求第k次摸出的球是黄球的概率． 若认为同颜色的球都是相同的，此时考虑a+b个球排成一列则应属于两类元素排列的问题， 则样本点的总数应为 其余a＋b-1个位置是a-1个黄球和b个白球的两类 元素排列，有 种方式. 从而A中所包含的样本点数为： 注 注意结果与k无关的实际意义. 所以 例4 摸球模型： 问题1 有放回抽样 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 解 第1次摸球 10种 第2次摸球 10种 第3次摸球 10种 6种 第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球 4种 第3次摸到红球 设前2次摸到黑球、第3次摸到红球为事件A 问题2 无放回抽样 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中任取2只球,求这2只球都是白球的概率. 解 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 注 无放回抽样模型的推广： 已知一批产品共 N 件，其中有次品 M 件，从中任取 n 件，求其中恰有 m 件次品的概率 若设 A={任取n件产品中恰有m件次品} 则有 超几何公式 练习 两封信随机地向标号为1，2，3，4的四个 邮筒投寄，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率. 解 设 A={第二个邮筒恰好被投入1封信} 样本点总数 n= 42 故 而A中的样本点为 m= 注 1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件. 2、“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的. 例 将一枚硬币上抛三次，设事件A =“恰有一次出现正面”，B=“至少有一次出现正面”， 求A，B的概率。 {(HHH),(HHT),(HTH),(HTT),(THH),(THT),(TTH),(TTT)} 解： 样本空间为 于是 上例中，将一枚硬币上抛三次，观察正面向上的次数，Ω1 ＝{ 0, 1, 2 , 3} , 记Ai＝“正面出现 i 次” 则P(A0)＝1/8 ，P(A1)＝3/8 ，P(A2)＝3/8， P(A3)＝1/8 所以以Ai作为基本事件，则非等可能概型. 引例 考虑一个质点随机落在[0,1]区间上. 0 0.3 1 设事件A表示事件“质点落在0与0.3之间” 则 这种与几何形状有关的概率称为几何概率. 三、几何概率 定义 设 是个有度量的几何区域， 是一个有度量的小几何区域，记它们的度量（长度、面积、体积等）分别为 。若随机点落在 内任一位置是等可能的，则事件A={向 内投掷的随机点落入区域 }的概率为 由上述定义给出的随机试验模型称为几何概型；由上式计算的概率称为几何概率. 注 当古典概型的基本事件数为无穷多个时, 就归结为几何概型. 引例中，若设事件B={质点落在0.3处} 显然应该有 C={质点落在区间(0，1)中} P(B)= ，P(C)= 注 不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件；必然事件的概率为1，但是概率为1的事件不一定是必然事件. 例5（会面问题）两人约定早上8点至9点在校门口见面。要求先到者等20分钟后离去。假定两人到校门的时间相互独立，而且在8至9点间是等可能的。问两人能见面的概率是多少？ 解 设A={两人能见面}，以x与y分别表示两人在8点之后到达校门口的分钟数， 则有 0≤x≤60, 0≤y≤60 两人能见面，即要 |y-x|≤20 即图中的阴影部分 能见面的概率为 60 20 0 20 60 1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展. 四、概率的公理化定义 定义 设E是随机试验， 是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件: （1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; （2）规范性：对于必然事件Ω,有P(Ω)=1; （3）可列可加性： 五、关于概率的一些解释 2. 概率不会自动“平衡” 而不是多次试验中正面出现的次数等于一半。 硬币连着出现10个正面，下一次是什么？ 打牌手风很顺，该