CH2随机信号新说课.ppt

* * ?补充例：两个随机信号 与 ，其中A与B同为(0, 1) 贝努里随机变量，概率都为（0.5, 0.5），R.V. ， A、B与Θ两两统计独立，ω为常数。 （1）求 E[X(t)] , E[Y(t)]； （2）求 （3）讨论随机信号X(t)与Y(t)的正交性、无关性、统计独立性； * * 解： * * * * 2.3.3 相关函数与协方差函数的性质 性质1 信号 的自相关函数满足 (2)均方值为非负实函数： (1)对称性： (3)方差为非负实函数： (4) 2.3.3与3.3合 * * 性质2：信号 与 的互相关函数满足 （1）对称性： （2） （3） 例2.8 例2.9 自学 相关函数与协方差函数的性质 验证 作业：2.11 2.12 2.13 * * 2.4 多维高斯分布与高斯信号 2.4.1 (高斯随机变量的)多维高斯分布 1. 一维与二维高斯分布 简记为 一维高斯分布: * * 二维高斯分布： 记为 * * 若 X、Y 互不相关，则 ，有： 所以对于高斯R.V. X,Y ，互不相关等价于统计独立 * * 采用向量与矩阵形式,令， ， ， 2. 高斯随机变量的多维分布 * * 协方差阵： 令： 对称阵 * * 多维高斯分布简记为 可看出n维概率密度函数由一、二阶矩决定 * * 可推导出： * * 2.4.2 高斯随机变量的性质 由n个随机变量 通过线性变换得到随机变量 ， 记为： 1. 随机变量的线性变换 (2) 任意 维边缘分布是高斯的； 性质 若 是 维高斯随机变量，则： (1) 经过线性变换后仍是高斯随机变量。 2. 高斯随机变量的性质 * * (3) 各变量相互独立的充要条件是两两互不相关，它的协方差矩阵为对角阵 或： 0均值高斯R.V.之间： n维高斯R.V.的各变量之间： 正交 线性无关 统计独立 线性无关 统计独立 (4) 高斯R.V.的各阶分布由其对应的均值向量与协方差矩阵决定 * * ，因此， 。于是 解：（1） 是一维高斯的， ， 例2.11 三维随机变量 ， 求（1）X1的密度函数；（2）(X1,X2) 的密度函数 （3） X1+X3 的密度函数； * * （2） 是二维高斯的, 与 ， ，而 于是， * * 于是， ，并且， （3）不妨记 ，则它是高斯的。 * * 2.4.3 高斯随机信号 1.定义： 定义2.4 若随机信号X(t) 的任意n维联合概率分布为n维正态分布，则称随机信号X(t)为正态随机信号（或高斯随机信号）（Gaussian/Normal process） 。 * * 若 的均值为 ，相关函数为 ，则 2. 高斯随机信号的分布 方差为 于是， 信号的 一维（ 阶）密度函数为： * * 考虑任意n个时刻 ，并令 则 * * 高斯随机信号的 n 维（阶）密度函数为： * * 3. 高斯随机信号的性质 (1) 高斯随机信号的各阶分布由其的均值函数 与协方差函数 决定 0均值高斯R.S.的随机变量之间： 高斯随机信号的随机变量之间 ： (2) 高斯信号经过线性变换(或线性系统处理)后仍然是高斯信号； (3) 高斯信号是独立信号的充要条件是 ： 正交 线性无关 统计独立 线性无关 统计独立 * * 例2.12 A与B 独立，且 是高斯信号；试写出该信号的一、二维概率密度函数。 解: * * * * 因此， ，而且， 于是，　 * * 例2.13 在上例中，假定ω=250π, 常数 T=1/1000, t = 0,T,2T, 求这三个时刻上信号X(t) 的协方差阵。