数学建模-2002年的彩票中的数学问题教材.doc

第四篇 彩票方案的合理性分析 2002年B题 彩票中的数学 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从十个号码中任选6个（可重复）基本号码，从中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表4-1（x表示未选中的号码）。 中奖 等级 10选6+1（6+1/10） 基本号码+特别号码 说明 一等奖 Abcdef+g 选7中（6+1） 二等奖 abcdef 选7中（6） 三等奖 abcdex xbcdef 选7中（5） 四等奖 abcdxx xbcdex xxcdef 选7中（4） 五等奖 abcxxx xbcdxx xxcdex xxxdef 选7中（3） 六等奖 abxxxx xbcxxx xxcdxx xxxdex xxxxef 选7中（2） “乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从个号码中任选7个（不可重复）组成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从个号码中任选7个（不可重复）组成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表4-2。 中奖 等级 33选7（7/33） 36选6+1（6+1/36） 基本号码 特别号码 说明 基本号码 特别号码 说明 一等奖 ●●●●●●● 选7中（7） ●●●●●●★ 选7中（6+1） 二等奖 ●●●●●●○★ 选7中（6+1） ●●●●●● 选7中（6） 三等奖 ●●●●●●○ 选7中（6） ●●●●●○★ 选7中（5+1） 四等奖 ●●●●●○○★ 选7中（5+1） ●●●●●○ 选7中（5） 五等奖 ●●●●●○○ 选7中（5） ●●●●○○★ 选7中（4+1） 六等奖 ●●●●○○○★ 选7中（4+1） ●●●●○○ 选7中（4） 七等奖 ●●●●○○○ 选7中（4） ●●●○○○★ 选7中（3+1） 以上50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表4-3，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例。 ⑴根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。 ⑵设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 ⑶给报纸写一篇短文，供彩民参考。 表4-3 部分奖项方案和获奖比例 序号 奖项方案 一等奖 比例 二等奖 比例 三等奖 比例 四等奖 金额 五等奖 金额 六等奖 金额 七等奖 金额 备注 1 6+1/10 50% 20% 30% 50 按序 2 6+1/10 60% 20% 20% 300 20 5 按序 3 6+1/10 65% 15% 20% 300 20 5 按序 4 6+1/10 70% 15% 15% 300 20 5 按序 5 7/29 60% 20% 20% 300 30 5 6 6+1/29 60% 25% 15% 200 20 5 7 7/30 65% 15% 20% 500 50 15 5 8 7/30 70% 10% 20% 200 50 10 5 9 7/30 75% 10% 15% 200 30 10 5 10 7/31 60% 15% 25% 500 50 20 10 11 7/31 75% 10% 15% 320 30 5 12 7/32 65% 15% 20% 500 50 10 13 7/32 70% 10% 20% 500 50 10 14 7/32 75% 10% 15% 500 50 10 15 7/33 70% 10% 20% 600 60 6 16 7/33 75% 10% 15% 500 50 10 5 17 7/34 65% 15% 20% 500 30 6