有限长序列线性卷积快速计算方法..docVIP

目录 1. 概述 2 2. 有限长序列线性卷积原理 2 2.1. 序列卷积的定义 2 2.2. 序列卷积的性质 2 2.3. DFT 3 2.4. FFT算法 3 3. 在Mathematica中实现有限长序列线性卷积快速计算 4 4. 结束语 6 有限长序列线性卷积快速计算方法 白亮亮 （陕理工物理系电信072班级） 指导教师：龙姝明在数字信号处理领域，离散时间系统的输出响应，可以直接由输入信号与系统单位冲激响应的离散卷积得到。离散卷积在电子通信领域应用广泛，是工程应用的基础。如何快速有效地计算出离散序列的卷积，一直是所关心的问题。如果直接在时域进行卷积，卷积过程中所必须的大量乘法和加法运算，一定程度地限制了数据处理的实时性，不能满足时效性强的工程应用。探讨卷积的速件实现方。许多文献讨论了卷积的计算方法麻烦。随着计算机技术的发展，越来越多的计算问题交由计算机处理。Mathematica作为优秀的科学计算软件，在工程计算、信号处理与通讯、图像处理等领域均得到广泛的应用。从实际应用出发，使用Mathematica快速傅里叶变换(FFT)技术 有限长序列线性卷积原理 　序列卷积的定义 设给定两个有限长序列、，则称 　　　　　　　（１） 为两个有限长序列的线性卷积 　序列卷积的性质 交换律：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２） 分配律：　　　　　　　　　　（３） 结合律： 　　　　　　　　　　　（４） 　与单位序列的卷积是它本身：　　　　　　（５）　 DFT 设有限长序列的长度为M，它的DFT为 　　　　 　　　　k=0,1,N-1 （6） 傅里叶变换的逆变换如下： k=0,1N-1 (7) FFT算法 序列的点DFT为 （8） 由于，将上式按n的奇偶性可以分解为 其中 ， （9） 这样N点DFT经过分解变成两个 点的DFT变换 复数加法和复数乘法运算次数由原来的 降到 当 时 N点DFT的运算量减少到近原来的一半 经过多次这样的抽样分解来实现快速傅里叶变换的 根据时域循环卷积定理，x(n)与(n)的线性卷积可以用循环卷积来代替。给出了一基于快速傅里叶变换(FFT)的卷积的实现方法，如图1所示。分别对补零后的(n)和(n)进行FFT运算，得到对应的频域响应X(k)和(k)，将X(k)和(k)相乘的结果再做IFFT，即可以得到x(n)和h(n)的卷积结果y(n) x(n) X(k) y(n) Y(k) Z(k) z(n) 有限长序列线性卷积框图 在Mathematica中实现有限长序列线性卷积快速计算 Clear[x,y,z,X,Y,m,n,xdata,X1,Z1,k,z1]; x={5.25856,5.36618,5.02709,5.77786,5.28104,5.91579,5.84052,5.51468,4.97816,5.27166,5.84789,5.01951,5.28814,5.17372,5.46323,5.49417,5.7322,4.76301,4.86094,5.39123,5.05035,4.92522,4.79883,4.69632,4.6403,5.39888,4.60129,4.73609,5.16334,4.27199,4.53288,4.97513,4.91889,4.71245,4.37391,4.61977,4.26855,4.14863,4.4911,4.675,4.05321,3.86839,4.07735,3.69387,4.37437,4.27464,3.56848,3.24454,3.93667,4.03253,3.07675,3.5694,3.78431,3.72019,3.45085,3.44727,2.66314,2.74888,2.76025,2.45175,2.95853,2.10271,2.70892,2.15267,2.21627,2.4791