无零因子环的特征..docVIP

第 19 讲 §4 无零因子环的特征 （Characteristic of the ring without zero-division） 本讲的教学目的和要求：环中有二个运算，关于加法做成一个加群。所以群中元素自然存在阶的概念。本讲是在元素的阶的基础上，定义了环的“特征”的概念，与教材不同的是：本讲中不只是讨论无零因子环的特征，而是将一般环的特征做了介绍。而将无零因子环的问题只是作为一种特例。这里要求： 对一般环的特征的定义要真正弄明的，特别是与中元素的阶的本质区别。 无零因子环中的特征的几个性质的证明应该掌握。 对讲义中最后的几个练习，需要领会其内涵。 一、环的特征的定义 定义 ： 设为任意环，如果存在自然数，使得任意都有，那么称这样的最小的自然数为环的特征，记为。如果不存在这样的自然数，则称的为无穷大，记 例1． 整数环中上述定义的自然数不存在. =. 不仅如此,还可知 例2. 在模4的乘余类环中,,当取 时,都有而最小的显然是4 明示1: 模剩余类环而言, 注意1：1°如果环的加群中有一个元素的阶为无穷，由的定义知 必有. 2° 如果的加群中每个元素都是有限阶而最大的阶若为.譬如中;最大者是 , , . 结论1. 若,那么,加群中每个元素,都有. 明示2. 在此,我们要强调二点: ① 确定存在这样的环,使得其加群中既有无穷阶的元素又有有限阶的元素. 设是两个循环加群,又设而. 所以 . 现令 并规定中加法“+”: 乘法“·”： 。 可以验证 是一个环，但在加群中， 而 . ② 确定存在这样的环：其加群中每个元的阶都不得有限，但不存在最大的阶. 设 ,在中规定加法 “+”:,和规定乘法“·”:. 易证是个环,而加群中的零元为1.且群中每个元都 有限,但阶数可任意大.(不存在最的阶). 结论2. 若是一个非零环,那么. 证明: 设:由附注1的1°知. 设 则 由的任意性 知 , (若 与矛盾). 例3. 若环的特征为素数,且可变换,则有 . 证明: 因是交换环, 显然,当时,我们有(!,)=,又因 !!,进而 于是 例4. 若中每个元都有(称为幂等元)且.那么必为特征是2的交换环. 证明: , , 由于 由的任意性 但 即是可交换的. 二、无零因子环的特征 设是一个无零因子环,那么关于的特征问题就有一种“新的感觉”. 定理1. 设是无零因子环,那么加群中每个非零元的阶都是一致的. 本定理已在§2中论证过. 上述定理告诉我们:非零的无零因子环中元素的阶只有二类:一类是零元0( 0的阶永远为1).而其余元素为另一类,它们或者都是无穷大,或都是同一个自然数. 定理2. 若非零无零因子环的特征 ,那么必是一个素数. 本定理在§2中也已证过. 由于整环,除环和域都是无零因子环,所以都满足上述 性质,综合而言: 推论:任一个整环,除环和域的特征或是无限大,或是一 个素数. 下面介绍几个练习,以此作为结束本讲的内容. 如果说本讲开始对环的特征的介绍,使人感到“高深莫测”的话,那下面的命题也许会让你踏实些. 练习1: 设.如果不是零因子 . 证明: 若 ,由本讲附注. 若 ( 未必是无零因子环 未必是素数) ,那么 而不是左零因子.由于.由特征的定义. 上练习提醒我们:非零环的特征就是任一个非零因子的阶.( 本讲结论是显而易见的) 练习2. 若域的阶为偶数,即 ,那么 证明: (反证法) 若.那么 则 . 显然中这样的阶循环子群只有有限个.不好?没有个.那么这个子群所含的中元素共有个.即 =偶数.但不可能是偶数,矛盾. .