空间向量的数量积运算练习题..docVIP

课时作业(十五) 一、选择题 1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：(a·b)c－(c·a)b＝0；|a|＝；a2b＝b2a；(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 【解析】　由于数量积不满足结合律，故不正确，由数量积的性质知正确，中|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，运算正确． 【答案】　D 2．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【解析】　a＋b＋c＝0，a＋b＝－c，(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，a·b＝，cos〈a，b〉＝＝. 【答案】　D 3．已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连结AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 【解析】　用排除法，因为PA平面ABCD，所以PACD，故·＝0，排除D；因为ADAB，PAAD，又PA∩AB＝A，所以AD平面PAB，所以ADPB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C. 【答案】　A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) 图3-1-21 A．2· B．2· C．2· D．2· 【解析】　2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错；2·＝2＝a2，故只有C正确． 【答案】　C 二、填空题 5．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________. 【解析】　|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2 ＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61， |2a－3b|＝. 【答案】　 6．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________． 【解析】　由题意知 即λ2＋2λ－20. －1－λ－1＋. 【答案】　(－1－，－1＋) 7. 如图3-1-22，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________． 图3-1-22 【解析】　不妨设棱长为2，则|1|＝－，＝＋， cos〈，〉＝＝＝0，故填90°. 【答案】　90° 三、解答题 8．如图3-1-23在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O平面GBD. 图3-1-23 【证明】　设＝a，＝b，＝c. 则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0. 而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)， ＝－＝b－a， ＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c. ∴·＝·(b－a) ＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a) ＝c·b－c·a＋(b2－a2) ＝(|b|2－|a|2)＝0. ⊥. ∴A1O⊥BD. 同理可证⊥. ∴A1O⊥OG. 又OG∩BD＝O且A1O?面BDG， A1O⊥面GBD. 9．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·. 【解】　　如图所示，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋) ＝·＝b· ＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·(＋) ＝·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)·＝(＋)·(＋) ＝· ＝· ＝(－a＋b＋c)· ＝－|a|2＋|b|2＝2. 1．(2014·中山高二检测)已知边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】　＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C. 【答案】　C 2．已知a，b是两异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　) A．30° B．60° C．90° D．45° 【解析】　由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1. cos〈，〉＝＝〈，〉＝60°. 【答案】　B 3．(2014·长沙高二月考)已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MNAE，则＝________. 【解析】　设＝m，由于＝＋， ＝＋m， 又·＝0， 得×1×1×