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]数形结合思想在“S=1234…n”中的运用.
数形结合思想在“S=1+2+3+4+…+n”中的运用
如果采用数形结合的方法,即图形的性质来说明数量关系的事实,那就非常直观,现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值。
方法1:如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分
别为1,2,3,4,…,n个
小圆圈排列组成的。而组 1 … n
成整个三角形小圆圈的个数 2 ………………
恰为1+2+3+4+…+n的值, 3 4
现把左边三角形倒放于斜线 4 3
右边,与原三角形组成一个 …………… 2
平行四边形,此时,组成平行 n … 1
四边形的小圆圈共有n行,
每行有(n+1)个小圆圈,所以
组成平行四边形的小圆圈的
总个数为n(n+1),因此,组成
一个三角形小圆圈的个数为n(n+1)/2,
即1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2.
方法2:白颜色的正方图案是由上到下每层依次分别为1,2,
1+n
3,4,…,n个小正方形组成的, …
而组成整个图案正方形的个数 ……
恰为所求式子1+2+3+4+…n的 n ……
值,为求此值,把左边图形倒放 …
于右边,与原图形组成一个矩形,此时组成矩形的小正方形n行,每行为(n+1)个小正方形,所以,组成矩形的小正方形总个数为n(n+1)个,因此,组成白色图案的小正方形个数为n(n+1)/2,
即1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2.
方法3:公式法
S=1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2,即S等于首尾两项的和与数据的个数的积的一半。
方法4:倒序相加法
∵S=1 + 2 + 3 + 4 + … + n
S=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)…+1
∴2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+…(n+1)=n(n+1)
∴S=n(n+1)/2.
应用举例:
已知线段AB,线段AB上点的个数为n,其中线段总条数为m,则:
n m 0 1=1 1 3=1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 4 15=1+2+3+4+5 … ………… n 1+2+3…+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2
已知∠AOB,在∠AOB内以O为端点作射线n条,共有m个角,则:
n m 0 1=1 1 3=1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 4 15=1+2+3+4+5 … ………… n 1+2+…+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2 已知⊿ABC,在线段BC上取n个点分别连结A与这些点,组三角形个数为m,则:
n m 0 1=1 1 3=1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 4 15=1+2+3+4+5 …… ………… n 1+2+…+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2 说明:例1、例2的综合就是例3,例3中的线段BC相当于例1中的线段AB,例3中的∠BAC相当于例2中的∠AOB。总之,线段的条数、角的个数与三角形的个数完全一致。
例4,用数形结合思想求1+3+5+7+…+(2n+1)的值,其中n为正整数。
解法1, 1 … 2n-1
3 …… …… …… …
5
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