]数形结合思想在“S=1+2+3+4+…+n”中的运用..docVIP

数形结合思想在“S=1+2+3+4+…+n”中的运用 如果采用数形结合的方法，即图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常直观，现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值。 方法1：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分 别为1，2，3，4，…，n个 小圆圈排列组成的。而组 1 … n 成整个三角形小圆圈的个数 2 ……………… 恰为1+2+3+4+…+n的值， 3 4 现把左边三角形倒放于斜线 4 3 右边，与原三角形组成一个 …………… 2 平行四边形，此时，组成平行 n … 1 四边形的小圆圈共有n行， 每行有(n+1)个小圆圈，所以 组成平行四边形的小圆圈的 总个数为n(n+1)，因此，组成 一个三角形小圆圈的个数为n(n+1)/2， 即1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2. 方法2：白颜色的正方图案是由上到下每层依次分别为1，2， 1+n 3，4，…，n个小正方形组成的， … 而组成整个图案正方形的个数 …… 恰为所求式子1+2+3+4+…n的 n …… 值，为求此值，把左边图形倒放 … 于右边，与原图形组成一个矩形，此时组成矩形的小正方形n行,每行为(n+1)个小正方形，所以，组成矩形的小正方形总个数为n(n+1)个，因此，组成白色图案的小正方形个数为n(n+1)/2， 即1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2. 方法3：公式法 S=1+2+3+4+…+n=n(n+1)/2,即S等于首尾两项的和与数据的个数的积的一半。 方法4：倒序相加法 ∵S=1 + 2 + 3 + 4 + … + n S=n+(n-1)+(n-2)+(n-3)…+1 ∴2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+…(n+1)=n(n+1) ∴S=n(n+1)/2. 应用举例： 已知线段AB，线段AB上点的个数为n，其中线段总条数为m，则： n m 0 1=1 1 3=1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 4 15=1+2+3+4+5 … ………… n 1+2+3…+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2 已知∠AOB，在∠AOB内以O为端点作射线n条，共有m个角，则： n m 0 1=1 1 3=1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 4 15=1+2+3+4+5 … ………… n 1+2+…+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2 已知⊿ABC，在线段BC上取n个点分别连结A与这些点，组三角形个数为m，则： n m 0 1=1 1 3=1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 4 15=1+2+3+4+5 …… ………… n 1+2+…+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2 说明：例1、例2的综合就是例3，例3中的线段BC相当于例1中的线段AB，例3中的∠BAC相当于例2中的∠AOB。总之，线段的条数、角的个数与三角形的个数完全一致。 例4，用数形结合思想求1+3+5+7+…+(2n+1)的值，其中n为正整数。 解法1， 1 … 2n-1 3 …… …… …… … 5