数列求和的九种方法..docVIP

数 列 求 和 的 九 种 方 法 汉川二中数学组 万小艳 数列是高中代数的重要内容。在高考和各种数学竞赛中都占有重要地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：运用公式法，倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法，通项分析法，分类讨论法，数学归纳法等。 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 等差数列求和公式：S= = na+d 等比数列求和公式： 当q≠1时，S= = 当q=1时，S= na 另外，可记住如下常用求和公式： S= 1 + 2 +…+ n = S=1 + 2 +…+n = n(n+1)(2n+1) S=1 +2 +…+n =[n(n+1)] 例1：求和：1+(1/a)+(1/)+……+(1/) 二.分组求和法 若数列 的通项可转化为 的形式，且数列 可求出前n项和 三：倒序相加法求和 课本等差数列前n项和公式 就是用倒序相加法推导的。倒序相加法求和即是将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个（a+a） 例3、求证C+3C+5C+…+（2n+1）C=(n+1)2 证明：设S=C+3C+5C+…+（2n+1）C……① 将①右边倒转过来得： S=（2n+1）C+（2n-1）C+…+3C+C……② 由C=C得，S=（2n+1）C+（2n-1）C+…+3C+C……③ ①+③得：2S=(2n+2)(C+C+…+C+C)=(2n+2)2 四、错位相减法求和 这种方法主要用于数列｛a·b｝的前n项和，其中{a},{b}分别是等差数列和等比数列，且{b}的公比不为1。 例4、求和：1+3a+5a+7a+…+(2n-1)a(a≠0) 解：数列{(2n-1)·a}是由等差数列{2n-1}和等比数列{a}的相应项乘积组成。 当a=1时，S=1+3+5+…+（2n-1）= = n 当a≠1时，S=1+3a+5a+…+（2n-1）a ……①， 两边分别乘以公比a得： aS=a+3a+5a+…+（2n-3）a+(2n-1)a…………② ①-②得：（1-a）S=1+2a+2a+2a+…+2a-(2n-1)a =1-(2n-1)a+， 于是S= - + 五：裂项求和法 顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。 所以：于是该和式求值可用“裂项相消法” 小结：裂项相消法常用的消项变换有 六、通 项 分 析 法 通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进行分析，从而决定使用那种方法求和。 分析：由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是： 例7：求和 分析：这个数列是数列1，2，3,…,n与它的倒序数列的积数列，共有n项，在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。 所以，该数列可以看作通项为的三个数列的差、和数列 ( k 取1，2，3、、、n) 说明：观察此题每一项由三个连续自然数的积组成，前后两项有两个因子相同，很自然联想使用裂项相消求和。 下面我们再来看一下并项求和法与分类讨论法 求和时，先分n为奇，偶数进行讨论，后考虑并合。 所以： 当n≤601时； 此类题需根据通项确定各项的正、负，再去掉绝对值。 上面讨论的八种方法灵活运用，多样结合就可解决常见的数列求和问题。对于数学归纳法求和，涉及到观察、猜想、归纳、证明等步骤，并且其关键在于猜想得出和式，在此就不作论述了。在数列求和过程中，根据数列的特点，采用适当的方法，定能较快、准确的解题。