数值分析松弛法..docVIP

《数值分析》实验报告 姓名 学号 日期 实验室 设备编号 实验题目 用松弛法解方程组 一 实验目的 1.熟悉松弛法及高斯-赛德尔方法求解非线性方程根的数值算法。 2.加深对松弛法以及高斯-赛德尔方法的理解。 二 实验内容 1．用松弛法求下方程组解，精确到10 。 (1) 跟G-S作比较 (2) 进一步考虑如何求最佳的W？ （一）松弛法的基本思想： 设Ax=b，A=I-B,x=Bx+b,A+B=I,那么 简单迭代： x=Bx+b 剩余向量： r=b-Ax,b=Ax+r x=Bx+Ax+r=(A+B)x+r 得到x=x+r 。因此，作一次迭代相当于在第k次近似解的基础上，用剩余量进行修正。 或许在修正项前乘一个因子，会使迭代收敛的快一些。 x=x+w(b-Ax)=(I-wA)x+wb 其中迭代阵为I-wA。 （二）程序代码： %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 松弛法 % % Sor.m % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% A=[4 -2 -1;-2 4 -2;-1 -2 3]; B=[0 -2 3]; f=1; %f=1.1,1.03,0.95 format long; if f=2 error (A SOR facter must be oppsitive and less than 2. ); end Er_user=5e-6; N=10; [m,n]=size(A); [mm,nn]=size(B); if m~=n error(A is not a square matrix.); end if m~=mm error(The row of B did not match the column of A); end X=zeros(n,1); k=1; while k=N Xk=X; for i=1:n for j=1:n AX(j)=A(i,j)*X(j); end Sum_AX=sum(AX); AX=0; X(i)=X(i)+f*(B(i)-Sum_AX)/A(i,i); end Er=max(abs(Xk-X)); if ErEr_user break; end k=k+1; end disp(X); disp(k); （三） 执行过程如下： %%f=1时：x、k的值 0.716190 0.674366 1.688307 11 %%f=1.03时：x、k的值 0.740677 0.703675 1.717588 11 %%f=1.1时：x、k的值 0.7959471 0.769365 1.782725 11 %%f=0.95时：x、k的值 0.674553 0.624283 1.638004 11 （三）.结果分析 根据AX=B, A=[4 -2 -1;-2 4 -2;-1 -2 3]; B=[0 ;-2; 3];可求出精确解为 x*=[1;1;2]。 根据不同的松弛因子，得到了不同的结果。 高斯-赛德尔迭代方法： 在雅可比迭代中，求时是用的所有分量来参加计算的，而在计算的 第i个分量时，已经计算好前面i-1个分量 (j=1,2,……,i-1).设想方法收 敛，第(K+1)次的分量比第K次的分量更接近于真实解，为了加速收敛，在计算的 第i个分量时，所用的的前i-1个分量换成新算好的值，即用，，……….…，……，来计算，这就是赛德尔迭代的思想，而在雅可 比方法基础上用赛德尔迭代，称为高斯-赛德尔方法。 高斯-赛德尔算法： 1）input n,A,b,ε,N 2) x[i] - 0(i=1,2,…….，n) 3) k - 1 4) while(k=N)do(5 ~ 11) 5) err - 0 6) for i=1 to n,do(7 ~ 9) 7) XI - x[i] 8) x[i]-(b[i]-) 9) if(err|XI-x[i]|