数值分析三次样条插值函数..docxVIP

数值分析第三次程序作业P 孙琪【问题】对函数构造等距节点的三次样条插值函数，对以下两种类型的样条函数三次自然样条满足的样条并计算如下误差：这里为每个小区间的中点。对N=10,20,40比较以上两组节点的结果。讨论你的结果。【三次样条插值】在每一个区间上，S都是不同的三次多项式，我们把在上表示S的多项式记为，从而，通过在节点处函数值、一阶导数和二阶导数的连续性可以得到：再给定的值就构成了4n个条件，而三次样条插值函数共4n个系数，故可以通过这4n个条件求解三次样条函数的系数，从而求得该三次样条插值函数。特别的，当时称为自然三次样条。自然三次样条插值【自然三次样条插值算法】1.由上面的分析可知，求解三次样条函数实际上就是求解一个矩阵：其中，，，所以自然三层次样条插值的算法就是在得到端点的函数值，一次导数值和二次导数值，然后根据上述求解矩阵得到v，代入自然三次样条的表达式即可。2.根据题目中所给出的误差估计，计算在区间中点处的最大误差。【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果：N=10计算得到zi的值为：由此可以得到各个区间的自然三次样条插值函数。计算得到各区间中点的最大误差为：自然三次样条插值函数与原函数的图像为：可以看出两者基本吻合，与我们计算得到的最大误差符合，实验结果成立。【结果】同样的，我们可以得到该题目的结果：NMax Error of grid (1)100.00124198837692200.000310817169505400.0000777244871042通过观察不难看出：【分析】通过结果可以看出，区间越分越细时，区间中点的最大误差越来越小，说明自然三次样条插值越来越逼近原来的函数。普通三次样条插值【普通三次样条插值算法】1.在给定了S’(0)=1和S’(1)=e，类似于自然三次样条插值，但此时的矩阵有变化，因此在计算时与之前的自然三次样条插值有所区别。2.根据题目中所给出的误差估计，计算在区间中点处的最大误差。【实验】N=101.计算得到zi的值为：2.计算得到各区间中点的最大误差为：6.95586472865×10-7普通三次样条插值函数与原函数的图像为：可以看出两者几乎吻合，与我们计算得到的最大误差符合，实验结果成立。【结果】同样的，我们可以得到该题目的结果：NMax Error of grid (2)106.95586472865×10-7204.38712914885×10-8402.75377542991×10-9通过观察不难看出：【分析】通过结果可以看出，区间越分越细时，区间中点的最大误差越来越小，说明普通三次样条插值越来越逼近原来的函数。【对比】NMax Error of grid (1)Max Error of grid (2)100.001241988376926.95586472865×10-7200.0003108171695054.38712914885×10-8400.00007772448710422.75377542991×10-9通过对比可以看出：同样的三次插值函数，在中点处的误差普通三次插值要比自然三次插值小很多，虽然我们不能确定的说普通三次插值就要比自然三次插值准确很多，但不难猜测到结果跟上述论断差不多。经过对不同函数用两种方法检验，两者的精度并不一定是这种情况，只是对该题有这个结果而已。通过观察不难看出：【Mathematica程序】自然三次样条插值：f1[x_]:=Exp[x];M=10;t=-1/M;For[i=0,iM,i++,t=t+1/M;a[i]=t;y[i]=f1[t]];For[i=0,iM-1,i++,h[i]=a[i+1]-a[i];c[i]=6(y[i+1]-y[i])/h[i]];u[1]=2(h[0]+h[1]);v[1]=c[1]-c[0];For[i=2,iM-1,i++,u[i]=2(h[i]+h[i-1])-(h[i-1])^2/u[i-1];v[i]=c[i]-c[i-1]-h[i-1]*v[i-1]/u[i-1]];z[M]=0.0;For[i=M-1,i1,i--,z[i]=(v[i]-h[i]*z[i+1])/u[i]];z[0]=0.0;For[i=0,iM,i++,Print[z,i,=,z[i]]];s[i_][x_]:=M*z[i]*(-x+a[i+1])^3/6+M*z[i+1]*(x-a[i])^3/6+(y[i+1]/h[i]-z[i+1]*h[i]/6)(x-a[i])+(y[i]/h[i]-z[i]h[i]/6)(-x+a[i+1]);g1=Plot[{s[0][x],f1[x]},{x,0,1/10}];g2=Plot[{s[1][x],f1[x]},{x,1/10,1/5