数值分析6-3..docVIP

§6.4 边值问题的打靶法（shooting method）和差分法（finite-difference method） 在前面几节中，我们着重介绍了一阶微分方程的初值问题，讨论了解决这类问题的显式、隐式方法及其算法.然后，将这一类方法推广到了一阶微分方程组的初值问题，并指出对高阶微分方程可以通过降阶的方法化为方程组的情形求解.最后，我们着重讨论了微分方程（组）的刚性问题，并给出了刚性方程组的数值求解方法. 本节我们将讨论在理论和应用上都有重要意义的另一类微分方程，即所谓的边值问题.二阶微分方程的两点边值问题的一般形式为 （1） 当关于是线性时，称为线性两点边值问题 （2） 其中，，. 关于问题（1）的解的存在唯一，我们给出如下定理 定理：假设两点边值问题（1）中函数在集 = 上连续，并且关于的偏导数（partial derivatives）,在也连续，且满足 对所有∈，有 对所有∈存在常数，使 则问题（1）的解存在唯一. 考虑两点边值问题 ，， 因= = 因而两点边值问题有唯一解. 对线性两点边值问题（2）仅需将上面定理中的条件改成，，在区间上连续，且，则边值问题（2）也存在唯一解. 注意：这里给出的边界条件称为第一类边界条件，当然我们可以给出第二、第三边界条件，但这里仅讨论第一类边界条件，介绍线性及非线性打靶法. 打靶法 1.线性打靶法 对于线性边值问题（2）利用第二章定理2.2.7可知：假设是一个微分算子使 = 则可得到两个微分方程 ，， ，， （3） ，， ，， （4） 方程（3），（4）是两个二阶初值问题.假设是问题（3）的解，是问题（4）的解，且≠0，则线性边值问题（2）的解为 =+ （5） 称利用上述方法求解两点边值问题（2）的数值方法为线性打靶法.在数值上，我们可以将初值问题（3）、（4）化为两个线性方程组用经典的算法分别计算及，然后，用（5）得到线性边值问题（2）的解.在几何上上述过程可以描述为 求解两点边值问题 ，，， 解：问题的精确解为 = 其中， =-0.03920701320 =≈1.1392070132 首先将方程组化为两个初值问题 ，，及 ，， 如果令：，则求解上述两个初值问题等价于求解如下两个微分方程组 方程组Ⅰ： 方程组Ⅱ： 用步长为的经典算法得到结果如下： 1.0 1111 1.1 10111.43e-7 1.2 10111.34e-7 1.3 10119.78e-8 1.4 10116.02e-8 1.5 10113.06e-8 1.6 10111.08e-8 1.7 10115.43e-10