数值分析5-1..docVIP

3.复化求积公式的收敛性与收敛阶 定义：设有一个复化求积公式，如果存在与步长无关的非零常数，使得 = 则称求积公式是阶收敛的. 显然，从复化梯形公式和复化公式的余项可以看出，是二阶收敛的，而是4阶收敛的. 对插值型求积公式的收敛性，我们不作证明地给出如下结论： 定理：设在区间上黎曼可积，则当插入分点无限增多，即且时，与收敛到积分. 最后，我们介绍一下步长的自动选择问题.由上面的收敛性定理可知：加密节点可以提高求积公式的精度.但在使用之前必须给出合适的步长，这却是一个难题.步长取得太大，满足不了精度要求，步长取得太小，又增加了不必要的运算.在计算机上通常采用将区间逐次二等分，反复利用求积公式进行计算，直到所求得前后二次积分的差满足精度为止. §5.3 求积公式 前面讨论的对积分的插值型求积公式=中，其节点，，…，是给定的且使至少具有次代数精度.这样实际上是限定了求积公式的代数精度，若求积点也可任意选取，则求积公式中含有个待定参数，适当选取这些参数可使求积公式具有次代数精度，称这种用个求积点而具有次代数精度的求积公式为高斯求积公式，个求积点称为高斯点. 对于积分构造求积公式 ≈+ 使其至少有代数精度3次. 解：按要求，为了使求积公式具有3次代数精度，分别令，，，代入上式有 ，+=2 ① ，+=0 ② ，+= ③ ，+=0 ④ 由②得：（+）+（-）=0，利用 ①得 2+（-）=0 ⑤ 由②得=-代入③得 +=（-）+=（-）= ⑥ 由 ③得=-代入④得 +=（-）+=+（-）=0 ⑦ 联立方程⑤⑥⑦，消去（-），注意到＞=-，=，==1，所以 ≈+ 显然，上述的求积公式至少有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式却只有1次代数精度.但是，当稍大时要得到上述方程组的解析解是很困难的，用数值的方法求解上述非线性方程组亦非易事.所以一般利用正交多项式来确定点，，…，，然后，利用插值原理确定求积系数. = 其中是点的插值基函数，从而型插值求积公式 ≈ 一、点与正交多项式零点的关系 定理：对插值型求积公式 ≈ 其节点，，…，是点的充分必要条件是次多项式 = 与任意次数不超过的多项式正交.即 =0 该定理说明，区间上的点即是在上的次正交多项式的零点.当选定了点后，利用公式 = 可以求得系数，从而得到型求积公式. 确定，，，使以下公式为求积公式. ≈+ 解：首先构造区间[0，1]上权函数为=首1的正交多项式. 设，，… （想法是能确定正交多项式则其零点即是点，） ==0 ， = ==0++=0 ==0 从而，，求得其零点为：=0.1788，=0.7101 令 ，=++= ，=0.1788+0.71010.1788+0.7101= 解得 =0.3891，=0.2776 所以，高斯求积公式为 ≈0.3891+ 二、常用的型求积公式 1.求积公式 区间[-1，1]上权函数=1的正交多项式是正交多项式 = 以正交多项式的零点为点的求积公式 ≈ 称为求积公式. 当时，即是例1的结论， ≈+ 它是具有3次代数精度的2点插值型求积公式. 当时，3次正交多项式的零点=-,=0，=作为点可求出具有5次代数精度的求积公式 ≈++ 现将时，正交多项式的零点（高斯点）与相应的求积系数列于下表. 公式的求节点数和求积系数 点数 1 2 ± 1 2 3 ± ，， 3 4