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微分中值定理及应用综述 谢娟 江苏师范大学 数学与统计学院 徐州 221116 摘 要：微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁和基石.本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明，介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，后又在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 关键词：微分中值定理；关系；应用 引言 微分中值定理是微分学的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，应用十分广泛. 1 浅谈微分中值定理 微分中值定理的基本内容 微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的定理, 它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下: 罗尔定理 如果函数 满足: ( 1) 在闭区间上连续; ( 2) 在开区间内可导; ( 3) 在区间端点的函数值相等, 即, 那么在区间 内至少有一点 , 使函数在该点的导数等于零, 即 几何分析 在（图1） 中可见曲线在上是一条连续光滑的曲线, 曲线在 内处处有切线且没有垂直于 轴的切线.在曲线的两端点一般高(罗尔定理的三条件在平面几何中成立), 因而在内曲线至少有一点处的切线平行于 轴(罗尔定理的结论成立,).通过对罗尔定理的几何分析, 抽象的罗尔定理得到了具体化(这也反应了数学的一般思想, 抽象思维具体化)。对于我们理解和掌握罗尔定理大有帮助. （图1） 1.1.2 拉格朗日定理 如果函数 满足: ( 1) 在闭区间上连续; ( 2) 在开区间内可导, 那么在区间内至少有一点 , 使等式成立. 几何意义 从（图2）可知, 曲线在上是连续光滑的曲线(即拉格朗日定理的条件在几何上的反映), 那么曲线弧在上至少有一点的切线平行于弦AB (弦AB 的斜率为 ,在处的切线平行于AB, 则 （图2） 1.1.3 柯西中值定理 如果函数及满足: ( 1) 在闭区间上连续; ( 2) 在开区间内可导; ( 3) 对任意， 那么在区间内至少有一点 , 使等式成立. 2 三个定理之间的关系 在拉格朗日定理中, 如果, 则变成罗尔定理; 在柯西中值定理中, 如果 , 则变成拉格朗日定理.因此, 拉格朗日定理是罗尔定理的推广, 柯西中值定理是拉格朗日定理的推广.反之, 拉格朗日定理是柯西中值定理的特例, 罗尔定理是拉格朗日定理的特例。 3 微分中值定理的应用 微分中值定理主要是利用函数导数在区间上所具有的特征去研究函数本身在该区间上的性质, 在研究函数的性质上是一个非常有利且方便的工具.中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数单调性、取极值、拐点等项的重要性质.从而把握函数图象的各种几何特征. 3.1 讨论方程零点（根）的存在性问题 例、 设在上连续，在内可导,试证在内，方程至少存在一个根. 证明：令，显然，在上连续，在内可导，而且 根据罗尔定理，至少存在一个 ，使. 故在内，方程至少存在一个根. 由[10]中的例1，我们可以知道，在我们要讨论的方程中，除了二次方程根的问题容易讨论之外，如果遇到复杂的方程，往往无从下手时，对于存在性的问题，我们可以分析题设条件，结合已学过的定理进行分析并解决.微分中值定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间上的函数，只需函数在这个区间连续、可导（并不要求区间端点可导），再加一些看似苛刻但实不苛刻的条件,用罗尔定理，就可以解决一些复杂的代数方程的判根问题，其步骤相当简单，一般是：命题条件——构造辅助函数——验证——验证满足罗尔定理的条件——命题结论 3.2 求解不定式的极限 柯西中值定理的一个及其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限. （洛必达法则若函数和满足： （i）， ； （ii）在点的某空心领域内两者都可导，且； （iii）（A可为实数，也可以为或）， 则 证 补充定义 ，使得 与 在点处连续。任取，在区间（或）上应用柯西中值定理，有 即 （介于与之间） 当令时，也有，故得 注：若将其中换成，，，，只要相应地修正条件（ii）中的条件，也可得到同样的结论. 我们在仔细观察柯西中值定理里的表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在一定条件下可以化成这两个函数的导数的比值，这样就可能使得作为未定型的分式的分子和分母所表示的函数，通过求导，而得到非未定型.由这个思路，我们即得到了洛必达法则. 例．