北京交通大学信号与系统第四章典型例题.docVIP

第四章 典型例题 【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier级数。 周期矩形信号 分析： 周期矩形信号是实信号，其在一个周期[?T0/2，T0/2]内的定义为 满足Dirichlet条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier级数表示。 解： 根据Fourier级数系数Cn的计算公式，有 故周期矩形信号的指数形式Fourier级数表示式为 利用欧拉公式 可由指数形式Fourier级数写出三角形式的Fourier级数，其为 结论： 实偶对称的周期矩形信号中只含有余弦信号分量。 【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier级数。 周期三角波信号 分析： 周期矩形信号是实信号，其在一个周期 [?1/2，3/2]的表达式为 满足Dirichlet条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier级数表示。 解： 由于该三角波信号的周期T0=2，所以。根据Fourier级数系数的计算公式，有 计算上式积分可得三角波信号的频谱Cn为 所以周期三角波信号的Fourier级数表示式为 利用欧拉公式 可由指数形式Fourier级数写出三角形式的Fourier级数，其为 结论： (1) 实奇对称的周期三角波信号中只含有正弦信号分量。 (2) 例4-1-1的周期矩形信号和例4-1-2的周期三角波信号均可用Fourier级数表示，所不同的是两者的Fourier系数不同。因此，研究Fourier系数也可获得信号的某些特性。 【例4-1-3】判断下图所示周期矩形信号和周期三角波信号的Fourier系数的特性。 (a)周期矩形信号 (b)周期三角波信号 分析： 首先判断信号时域的对称关系，再利用周期信号的对称特性和Fourier系数的关系，即可得出相应信号Fourier系数的特性。 解： (a)信号为实偶对称，满足，故Fourier系数Cn实偶对称，其三角形式Fourier级数表示式中只含有直流项和余弦项。 (b) 信号既满足，又满足，为实奇对称半波镜像信号，其三角形式Fourier级数表示式中只含有奇次谐波的正弦信号分量。 结论： 利用周期信号的对称特性和Fourier系数的关系可以建立信号时频的对应关系，定性地判断信号的频谱成份。 【例4-1-4】判断下图所示周期信号的Fourier系数的特性。 分析： 从信号的波形来看，其不具有任何对称关系。在这种情况下可以去掉信号的直流分量，再观察波形的对称性。 解： 信号的直流分量为 去掉直流分量后的波形如下图所示，是半波镜像信号，故只含有奇次谐波分量。 综合上面的分析，的三角形式Fourier级数表示式中含有直流项、奇次谐波（正弦和余弦）分量。 结论： 某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性。 【例4-1-5】利用连续时间Fourier级数的性质，写出下图所示周期矩形信号的Fourier级数表示式。 分析： 周期信号可以看成直流分量与例4-1-1周期矩形信号之差，利用Fourier级数的线性特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。 解： 周期信号可以看成下图所示直流分量和周期矩形信号之差，即 令例4-1-1中周期矩形信号的A=1，，，可得的Fourier级数表示式为 因此的Fourier级数表示式为 结论： 利用常用周期信号的Fourier系数和Fourier级数的性质，可计算其它周期信号的Fourier系数。 【例4-1-6】利用连续时间Fourier级数的性质，写出下图所示周期矩形信号的Fourier级数表示式。 周期信号g(t) 分析： 周期信号可以看成例4-1-1周期矩形信号右移0.5，利用Fourier级数的时移特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。 解： 周期信号可以表示为。令例4-1-1中周期矩形信号的，，??0=2?? T0??，的Fourier系数为 令的Fourier系数为Dn，利用Fourier级数的时移特性可得 因此，周期信号的Fourier级数表示式为 结论： 与具有的关系，两者Fourier级数的模相等，即，但相位不同。这充分体现了周期信号Fourier级数时移特性的物理含义，即信号在时域的时移对应其在频域的相移。 【例4-1-7】画出例4-1-1以原点为中心对称的周期矩形信号的频谱。 周期矩形信号 分析： 周期信号的Fourier系数就是该信号的频谱。 解： 由例4-1-1的计算结果，以原点为中心对称的周期矩形信号的频谱为 ， 由于Cn为实数，因而各谐波分量的相位或为零(Cn为正)或为((