第十六节 定积分及其简应用第十六节 定积分及其简单应用.docVIP

第十六节　定积分及其简单应用 1.下列式子中，正确的是(　　) A. ∫f(x)dx＝f(b)－f(a)＋C B. ∫f(x)dx＝f′(b)－f′(a) C. ∫f′(x)dx＝f(b)－f(a) D. [∫f(x)dx]′＝f(x) 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　 解析：由微积分基本定理(牛顿－莱布尼兹公式)易知，C正确． 答案：C 2．已知M＝|x|dx，N＝cos215°－sin215°，则(　　) A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．以上都有可能 解析：M＝|x|dx＝2xdx＝2＝1，N＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.故选B. 答案：B 3．(2013·汕头二模)如图所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是(　　) A．|∫(x2－1)dx| B. ∫(x2－1)dx C. ∫|x2－1|dx D. ∫(x2－1)dx＋∫(x2－1)dx 解析：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S＝∫(1－x2)dx＋∫(x2－1)dx＝∫|x2－1|dx. 故选C. 答案：C 4．(2013·北京卷)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　) A.　　　　B．2　　　　C.　　　　D. 解析：由C：x2＝4y，知焦点P(0,1)．∴直线l的方程为y＝1. ∴所求面积S＝4－∫dx＝4－|＝. 答案：C 5．(2013·汕尾二模)已知a＝∫dx，函数y＝ax－bx(a≠b)是奇函数，则函数y＝logbx是(　　) A．增函数 B．减函数 C．常数函数 D．增函数或减函数 解析：因为a＝∫dx＝(ln x＋x)|＝e， 所以函数y＝ax－bx＝ex－bx， 因为此函数是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 即e－x－b－x＝－ex＋bx，＝bx－ex恒成立，所以b＝， 所以函数y＝logbx＝logx，函数是减函数．故选B. 答案：B 6．以初速度40 m/s竖直向上抛掷一物体，t秒时刻的速度为v＝40－10t2，则此物体所能到达的最高高度是(　　) A. m B. m C. m D. m 答案：A 7．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若∫f(x)dx＝f(x0)，其中－1＜x0＜0，则x0＝________. 解析：∵∫(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x0)＝ax02＋c， 因为a≠0，所以x02＝，又－1＜x0＜0，∴x0＝－. 答案：－ 8．计算定积分(x2＋sin x)dx＝________. 解析： (x2＋sin x)dx＝＝－＝＋＝. 答案： 9. 一物体受到与它运动方向相反的力F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于________． 解析：由题意知F(x)所做的功为－∫dx＝－＝－－. 答案：－－ 10．(2013·江门一模)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a(a＞0)与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积为，则a＝________. 解析：由可得A(－，a)，B(，a)， S=－(a－x2)dx＝(ax－x3)|－＝2(a－a)＝＝，解得a＝2. 答案：2 11．求下列定积分： (1)dx；　　 (2)2dx； (3)(sin x－sin 2x)dx. 解析：(1)dx＝dx＝x2－3x－＝. (2)2dx＝dx＝x2＋ln x＋2x＝－(2＋ln 2＋4)＝ln＋. (3)＝＝－＝－. 12．已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值． 解析：(2ax2－a2x)dx＝＝a－a2， 即f(a)＝a－a2＝－＋＝－2＋. 所以当a＝时，f(a)有最大值. 13．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2. (1)求常数a，b的值； (2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积． 解析：(1)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b， f(1)＝－2且f′(1)＝0， 即解得a＝0，b＝－3， 即f(x)＝x3－3x. (2)作出曲线y＝x3－3x的图象(如右图)，所求面积为阴影部分的面积． 由x3－3x＝0，得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－，0)，(0,0)和(，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称， 所以(－，0)的阴影面积与(0，)的阴影面积相等． 所以所求图形的面积为 S＝2[0－(x3－3x)]dx＝－2＝. 14．物体