新）第二章 平面问题的基本理论.pptVIP

一、相容方程 数学意义： 几何方程——3个应变分量通过2个位移分量描述 力学意义——变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束 解：各位移边界条件见表所列。 2、 图所示的几种受力体是否为平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？ R O q x y q h z y o Rh h Q Q O z y x y R O Rh p R O p y x O p z l p y 图 a)所示为平面应力问题。图b）所示荷载垂直作用于板面，故为薄板弯曲问题。图c）所示荷载作用于板边，荷载及横截面沿z轴无变化，且Rl，故为平面应变问题。 解： 3、 如图所示薄板条在y方向受均匀拉力作用，试证明在板中间突出部分的尖端A处无应力存在,体力不计。 q O C B A y q x §2-10 按应力求解平面问题 相容方程 按位移求解平面问题时，必须求解联立的两个二阶偏微分方程，这在数学上是相当困难的。而按应力求解弹性力学平面问题，则避免了这个困难，故更多采用的是按应力求解。 按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出形变分量，从而用几何方程求出位移分量。 基本方程 1、平衡方程 2、几何方程 3、物理方程 保留 6个方程5个未知数 例 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 解： 显然该应变分量没有对应的位移。 要使这一方程组不矛盾，则3个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。 由平面问题的几何方程： 从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得 可得： 即： 这个关系式称为形变协调方程或相容方程。 （2－22） 应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。 例：取应变分量 可得 上两式无法同时满足，因此不能求出位移分量 利用平衡方程式消去上式的 二、按应力求解平面问题 未知数3个σx、σy、τxy，须联立平衡方程与变形协调条件，以平面应力问题为例，将物理方程代入应变协调条件得到： ——平面应变相容方程 ——平面应力相容方程 移项，展开，化简后，最后可得： 平面应力情形 控制方程 平面应变情形 控制方程 把平衡方程和应力表示的应变协调方程写在一起，有： 应力边界条件 弹性力学解 弹性力学问题解 位移单值条件：单连体 当体力为零时，应力分量为 式中 。试检查它们是否是弹性力学问题的解？ 按应力求解平面问题时，应力分量应当满足 方程和 方程。此外，应力分量在边界上还应满足 。 1、平衡方程： 2、相容方程： 题设的应力分量不是弹性力学的解 如图所示矩形截面梁，在均布载荷作用下，由材料力学得到应力分量为 试检查该公式是否满足平衡方程和边界条件，并导出 表达式 解： ① 平衡方程为 ② 将式①代人上式，第一式得到满足，由第二式得 利用边界条件 得 由此得 ③ 上式亦满足边界条件 另外，由式①的第二式可知，它满足上下两个表面上 的条件。在左侧及右侧表面上，利用圣维南原理可知，也满足 由此可知，只有当 才能满足平衡方程和边界条件，即为满足弹性力学基本方程 的解 由式③确定时，材料力学中所得到的解答 截面宽度为1的狭长矩形板件，两端承受弯矩 的作用，若已知 试证明：当无体力，侧面无表面力时，所给的应力分量是该问题的解。 EX4 应力分量满足平衡方程（1-3）及变形协调方程，在侧面满足 边界条件（1-9），在端面上须满足 ， x轴通过截面的形心时，前一式得到满足。后一式要求杆端的 面力分布规律和任一横截面上的应力分布规律一样，此时应力 解才是精确解，若 ，则根据圣维南原理，用 代替分布的面力时，对于远离端部处影响很小。 可见，在常体力的情况下， 应当满足拉普拉斯微分方程（调和方程）， 应当是调和函数。 用记号 代表 ，上式简写为： 常体力下，两种平面问题的相容方程都简化为： 结论: 在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量 、 、 的分布是相同的（两种平面问题中的应力分量 ，以及形变和位移，却不一定相同）。 §2-11 常体力情况下的简化 推论2 在用实验方法测量结构或构件的上述应力分量时，可以用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便于量测的结构或构件材料；还可以用平面应力的薄板模型