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第四冊 主題三 三角形的基本性質 3-4 三角形的邊角關係 PA RT 1 主題探索窗 探索一、三角形任兩邊之和大於第三邊 從三角形的 SSS 全等性質我們知道，若是知道一個三角形的三邊長， 則我們可以決定出這個三角形。因為滿足 SSS 對應條件的三角形都 會全等。但是，並非任意的三個線段都可以作為三角形的三邊長，例 如 1、2、3，如圖。 2 1 3 我們可以從上面的過程得知，三角形的三邊長必須滿足某一種關係才 行，本單元就是要探討三角形的三邊長有何關係？ 我們利用一個生活例子來說明~「小橋的國中生活」 範例 1. 如圖，小橋在學校放學之後常常都要到補習班補習，一直到很晚才能 回到家，每週四是他最快樂的日子，因為這天他不用補習，放學後就 可以直接回家，享用豐盛溫馨的晚餐。 同學們，你的國中生活是否與小橋有很多共同點呢？其實這樣看似 〝枯燥〞的日子，也潛藏了數學概念哦，請看！ B(補補補) c a A(學學) b C(小小小小 )  從 A 點出發到達 C 點，因為兩點之間以直線距離最短， 所以 a＋c＞b 同理 b＋c＞a，a＋b＞c (註： BC = a ， AC = b ， AB = c ) 因此，三角形的三邊長必須滿足「任意兩邊長和＞第三邊」的條件。 (一般而言，必須檢查 3 次) 練習 1. 請問下面幾組數中，哪幾組可作為三角形的三邊長？ 可以請打 ，不可以請打 。 (1) □ 2，3，4 (2) □ 4，6，10 (3) □ 3，4，5 (4) □ 1，1，100 (5) □ 1，100，100 (6 ) □ 100，100，100  從上面的練習，我們發現當我們要檢查 3 個數是否可以形成一個三角 形，有些檢查的過程似乎是多餘的，例如 3，4，5。 因為 5＞4，5＞3 所以只要檢查 3＋4＞5 即可。 (即 5＋3＞4，5＋4＞3 可以不必檢查) 1，100，100 也是如此，只要檢查 1＋100＞100 即可 (即 100＋100＞1 是多餘的) 從上面的說明我們得到一個較簡便的方法，若是 c≧a，c≧b， (a、b、c 均大於 0)， 則 c＋a＞b c＋b＞a 一定成立所以，可以不必檢查， 只要檢查 a＋b＞c 是否成立即可。 因此，三線段中，若是知道哪一線段為最大，則只要「較小兩線段之 和大於最大線段」，則此三線段即可完出一個三角形。 換言之，三角形「任意兩邊之和＞第三邊」，也可以說成「較小兩邊 之和＞最大邊」 範例 2. 已知一個三角形的三邊長為 3、7、x，其中 x 為正整數，請寫出 x 可 能的值？ 解 由三角形「任意兩邊之和＞第三邊」得到 3＋7＞x 7＋x＞3 (這是一定的，因為 7＞3 ) 3＋x＞7 由 「3＋7＞x」，得到 x＜3＋7，即 x＜10 由「3＋x＞7」，得到 x＞7－3，即 4＜x 所以 4＜x＜10 所以 x 可能為 5、6、7、8、9 在範例 2.中，似乎感覺到 x 不可以太大，x 小於另外兩邊和(x＜3＋7)， 而且 x 也不可以太小，x 必須大於另外兩邊的差(x＞7－3)， 練習 2. 請問下面幾組數中，哪幾組可作為三角形的三邊長？ 可以請打 ，不可以請打 。 (1) □ 7、3、2 (2) □ 7、3、3 (3) □ 7、3、4 (4) □ 7、3、4.5 (5) □ 7、3、5 (6) □ 7、3、9 (7) □ 7、3、9.5 (8) □ 7、3、10 (9) □ 7、3、10.5 (10) □ 7、3、11 我們可以想像有時針(長度為 3)，分針(長度為 7)，什麼時候不能形成 三角形，例如 6 點整，還有 12 點整，就像下圖。  則它們的第三邊必定小於 7＋3(6 點整最長)，7－3(12 點整最短)。 因此，我們得到三角形三邊長的關係 「兩邊差(取正值)＜第三邊＜兩邊和」 探索二、在同一三角形中，大邊對大角 我們知道 A 在等腰△ABC 中，若 AB = AC ，則∠B＝∠C； 反過來說， B C 在△ABC 中，若∠B＝∠C，則 AB = AC 。 我們將上面的結論稱為，在同一三角形中，「等邊對等角，等角對等 邊」 範例 3. 接下來，我們要探討在同一三角形中，當兩邊不相等時，則它們的對 角大小關係如何？ A 解： 我們利用等腰△ABC 來作實驗， 不難發現「在△ADC 中」，當 AD