01平面的基本性质.docVIP

01、平面的基本性质 一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内； 公理2：如果两平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一 条直线 【这条直线称为两个平面的交线，这是两个平面相交的依据；这也是判断几点共线（证这几点是两个 平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一】。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； 推论1：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 注意：公理3和三个推论是确定平面的依据。 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 二、空间两条直线的位置关系 1、相交直线 —— 有且仅有一个公共点 2、平行直线 ---- 在同一个平面内，没有公共点 3、异面直线 ---- 不同在任何一个平面内，没有公共点 三、异面直线所成的角---异面直线所成角的求法： 1、范围：； 2、求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法： 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两 条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。 02、直线与平面的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的点都在这个平面内）；符号表示： （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交； 符号表示： （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 符号可表：为 注：我们也将直线与平面相交和平行统称为直线在平面外。用符号表示为aα 2、直线与平面平行： （1）定义：直线与平面没有公共点——直线与平面平行 （2）直线与平面平行的判定： ① 定义法： 借助定义，用反证法说明直线与平面没有公共点（证明直线在平面外不能说明直线与平面平行） ② 直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 (记忆口诀：线线平行 线面平行) 推理模式： （3）直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 (记忆口诀：线面平行 线线平行) 推理模式： 3、直线与平面垂直： （1）定义： 如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线垂直于这个平面，这条直线叫做这个平面的垂线，这个平面叫做这个直线的垂面，垂线与平面的交点称为垂足。 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α （2）直线与平面垂直定理： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 （3）直线与平面垂直的判定： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 （4）直线与平面垂直的性质： 如果两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 4、点到平面的距离： 过平面外一点A向平面α引垂线，垂足为B，则点A和垂足B之间的距离叫做点A到平面α的距离。 5、直线和平面的距离的定义： 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离． 6、直线与平面所成的角： （1）斜线和平面所成的角的概念： 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角 （2）规定： ① 如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角. ② 如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是的角. 强调：直线和平面所成的角的范围是： . 直线和平面所成的角求法： “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。 03、平面与平面位置关系 1、平面与平面位置关系 位置关系 定 义 符号表示 平行 平