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正方形创新题现中考 近几年中考命题者精心设计，编拟了有关“正方形”这部分内容的创新型考题．旨在考查考生观察、比较、综合、猜想等能力．下面举例说明． 一、剪拼图形问题 例1 如图1，有一个边长为5的正方形纸片，要将其剪拼成边长分别为的两个小正方形，使得．①的值可以是________（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性： __________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ 分析：剪拼图形是近几年来中考中的常见题型．解题时关键抓住勾股定理可以是以为直径的半圆上的任意一点（点除外）.的长分别为两个小正方形的边长. 点评：解正方形剪拼题要利用勾股定理，其数学表达式是一个含有平方关系的等式，用勾股定理内，画出使的一个点，并说明理由． （2）请在图3②的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理由． 分析：本题要求学生在掌握正方形连接交于点，则． 点为所求． （2）如图②，画法如下： 1）以为边在正方形内作等边； 2）作的外接圆，分别与交于点． 在中，弦所对的上的圆周角均为， 上的所有点均为所求的点． 点评：本题通过实际操作，动手实践与逻辑推理能力，考查学生对正方形的理解和掌握，几何画图设计型问题一般要抓住问题的本质，然后运用几何图形相关性质进行解答. __________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）． 分析：观察第⑴个图形有黑色瓷砖4块；第⑵个图形有黑色瓷砖4＋3＝7（块），第⑶个图形中有黑色瓷砖4＋3＋3＝10（块），…，依次规律可得第（）个图形中有黑色瓷砖4＋3（）＝（块）。 解：10，（）。 评注：解答此类问题要仔细观察每个图形及变化规律，根据规律归纳总结出结论。 四、探究数量关系问题 例ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F. (1) 求证：DE－BF = EF． (2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由． (3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图5中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）． 分析考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质，出图中全等的直角三角形，两线段的等于某条线段找三角形性质然后根据对应边来到处两线段的从而使问题获解.证明(1) ∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG ∴ DA=AB， ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90° ∴ ∠BAF = ∠ADE ∴ △ABF ≌ △DAE ∴ BF = AE , AF = DE ∴ DE－BF = AF－AE = EF EF = 2FG 理由如下∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG ∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ∴ ∴ AF = 2BF , BF = 2 FG 由(1)知, AE = BF，∴ EF = BF = 2 FG (3) 如图 DE + BF = EF 评注：正方形是有一个角是直角的菱形；正方形又是对角线相互垂直的矩形；正方形是中心对称对称图形，也是轴对称图形.正方形的对角线分其四个全等的等腰直角三角形. 1. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ） A． B． C． D． 4．如图3，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留）． 5．如图4．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 ． 答案：1. A； 2. D； 3. D； 4. ；5. . 利用正方形的性质探索线段的数量关系 正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多的线段之间的关系，历年中考总会出现有关利用正方形的性质探索线段的数量关系问题，求解时只要我们能充分利用正方形的特性，结合图形大胆的探索、归纳、验证即可使问题获解.现以200年中考试题为例如下： 例1ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点