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主题五：三角函数的图象与性质 知识网络 学法指导 1．理解并掌握正弦函数的图象与性质，并由此理解余弦函数的图象与性质，会求三角函数的定义域、值域、周期，会判断三角函数奇偶性，会求三角函数单调区间 2．对函数的要求 （1）五点法作简图 （2）会写变为的步骤 （3）会求的解析式 （4）知道，的简单性质 3．会求三角函数图像的对称中心，对称轴 4．能解决以三角函数为模型的应用问题 能力与探究 要点点拨 1、正弦、余弦函数和正切函数的图象：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2．正弦、余弦、正切函数性质 定义域 R R 值域 R 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 上为增函数；上为减函数（） ；上为增函数 上为减函数 （） 上为增函数（） ①，的最小正周期都是2； ②和的最小正周期都是。 2．奇偶性与对称性： (1)正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线； (2)余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。 （3）正切函数是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 3．形如函数的基本性质 （1）几个物理量：A：振幅； 频率（周期的倒数）；：相位；：初相； （2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如， （3）函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 常用结论 1．研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。 2．函数的图象与图象间的关系：①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位。 典例剖析 题型一　与三角函数有关的函数定义域问题 例1　求下列函数的定义域： (1)y＝lgsin(cos x)； (2)y＝. 解题指导　(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)0. ∵－1≤cos x≤1，∴0cos x≤1.其定义域为{x|－＋2kπx＋2kπ，k∈Z}. (2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0. 利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示. 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π， 所以定义域为. 这个条件。 变式训练1求函数的定义域. 题型、三角函数的五点法作图及图象变换 例已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1. (1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图； (2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？ (1)y＝f(x)＝4cosxsin(x＋)－1 ＝4cosx(sinx＋cosx)－1＝sin2x＋2cos2x－1 ＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋) 2x＋ 0 π 2π x － y 0 2 0 －2 0 ∴函数y＝f(x)在[－，]上的图象如图所示． （2）由y＝sinx(x∈R)的图象个单位即得到的图象，再将得到的图象，纵坐标不变横坐标缩短为原来的就得到的图象，最后将得到的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的两倍，就得到函数的图象。 总结与反思　（1）“五点法作图”应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式； ②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点． 的图象，只需把函数的图象向___平移____个单位 （答：左；）； （2）函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？ 题型三三角函数图象与解析式的相互转化 例函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A0，ω0,0φ)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式； (2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．