I-三角变换-03(讲义)..docVIP

第3讲 三角变换－0——图象 性质 应用 【图象与性质】 三角函数有六个，我们重点了解其中三个——y=sinx、y=cosx、y=tanx (x?+k? ,k?Z)的图象、性质。另三个分别是其倒数，可通过倒数来推得相关性质。 这三个重要函数的图象、性质如下： 名称 图 象 性 质 定义域 值域 单调性 奇偶 周期 y=sinx R [－1,1] 递增区间 递减区间 奇 2? y=cosx 递增区间 递减区间 偶 y=tanx x?+k?, k?Z R 递增区间 奇 ? y=Asin(ωx+φ) R [-A,A] 递增区间 递减区间 待考 函数的性质可以在其图象上得到直观而完整地反映，对某图象认识得越细致、深刻，对该函数的性质获得得就越多且完备。如，通过对正弦曲线的观察知，其对称轴为x=+kπ, k?Z；对称中心为(kπ,0) (k?Z)；直线y=?1与正弦曲线相邻交点间距离值为最小正周期值；等等。 解决函数相关问题，常用而有效的方法之一，是数形结合，三角函数亦不例外； 三角函数中与函数性质相关问题，通常有这样几类： 求解这类问题时，我们总是利用恒等变换知识，先将函数表达式“化一”(即化成一个名称的函数或一个三角函数)，再利用相对应三角函数性质回答问题。 【问题、方法再现】 1.⑴函数f(x)=+的定义域为 ． 简析：由 解得 借助数轴，数形结合，定义域为(－4,－π]?[0,π] ⑵函数y=的周期为__________ 简析：因为y===tan(2x+)，所以T= 题中三角式化简，可用二种直接办法完成，一是二角和展开后用辅助角，二是和化积。 ⑶求下列函数的值域 ①y=； ② y=log2； ③y= 简解：函数问题求解时，一定要注意定义域优先原则，函数的变化都是在定义域内的变化。 ①由题意知1+sinx?0，即x?－+2k? (k?Z) ∵y=2sinx(1－sinx)=－2(sinx－)2+， 又∵?1，∴sinx=时，，但?－1，∴y－4，∴原函数的值域为]． ②∵?sinx?1又∵，∴??，∴?y?1， ∴函数y=log2的值域为． ③由y=得，∴φ)=3y－1，φ=，sinφ=． ∵φ)|?1，∴?．解得?y?，∴原函数的值域为]． 另解——数形结合由y==可知y为圆x2+y2=1上点P(cosx,sinx)与定点A(－3,－1)连线斜率。如图，y应介于直线AP2与AP1斜率之间，所以y?[0,] ⑷若?，则的范围是 ；若?1，则x的范围是 ；若sin2xcos2x，则x的范围是 ． 简析：利用对应三角函数的图象，可一一求得对应三角不等式的解集分别为： [2k?+,2k?+] (k?Z)；(2k?+,2k?+) (k?Z)；(k?－,k?+] (k?Z)； 由cos2x0得(k?+,k?+) (k?Z) ⑸函数－)的图象的一个对称中心是________（写出一个即可） 简析：令－= (k?Z)，即x=k?+ (k?Z)，所以函数图象的对称中心为(k?+,0) (k?Z) ，0,0)，（，0)等 ⑹为了使函数ωx (ω0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的的最小值是_____ 简析：由正弦函数图象和性质知49?1，即?1，∴ω? 2.⑴函数f(x)=cos2x+sinx在区间[－,]上的最小值是________ ⑵如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=－对称，则a= 简析：⑴f（x）=1－sin2x+sinx =－sinx－2+，当x=－时，取最小值 　　　⑵根据对称性，取特殊值，)得a=－1 另解：由y=sin(2x+φ)关于直线x=－对称知x=－时y取得最大值或最小值，即=f(－)或－=f(－)，解得a=－1 (亦或tanφ=a, 2x+φ=k?+,k?Z，即φ=k?+－2(－)= k?+,k?Z ∴a=tanφ=tan(k?+)=－1) 3.是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+a－在闭区间[0,]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由． 解：a)2++－ 当?x?时，?cosx?1，令则?t?1，a)2++－，0?t?1， ⑴?a?1，即0?a?2时，则当t=a即cosx=a时，由ymax=+－=1?a=或a=－4(舍)； ⑵当a0，即a0时，则当t=0，即cosx=0时，由ymax=a+－=1?a=(舍) ⑶当a1，即a2时，则当t=1，即cosx=1时，由ymax=a+－=1?a=(舍) 综