华理高数全部复习资料之数列与无穷级数..docVIP

第8章 数列与无穷级数 （一）??? 1．? 若0，正整数，使得当时成立,则称常数是数列的极限，或称数列收敛于，记为。否则称数列发散。 2．? 若，，c是常数，则 ； ； ； 。 3．????????????? (1)若0则，当时成立0；，则。 (2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）: （2）单调有界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5．??? 对于数列，若存在定义域包含的函数，使，且，且。 6．??? （1）若，是的一个子数列，则。 （2）若，则。 （二）无穷级数的基本概念 1．级数敛散性的定义 　称为级数的前项部分和，而称数列为级数的部分和数列。 　若级数的部分和数列收敛，即，则称级数收敛，称s为该级数的和，记为，同时称为级数的余和。 　若级数的部分和数列发散，则称级数发散。 2．级数的基本性质 （１）若，是常数，则。 （2）若=s，，则。 （3）若收敛，则也收敛，其中任一正整数；反之亦成立。 （4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。 （5）级数收敛的必要条件：若收敛，则。 （三）数项级数 1．正项级数 （1）正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界。 （2）正项级数的比较判别法及其极限形式 设，（１）若收敛，则收敛；（２）若发散，则发散。 设与均是正项级数，若，则与具有相同的敛散性。 （3）正项级数的积分判别法 对于正项级数，若存在单调减少的连续函数，使得，则级数与广义积分具有相同的敛散性。 （4）正项级数比值判别法的极限形式 设为正项级数，且, 则 （a）1时，级数收敛； （b）当1（包含）时，级数收敛； （c）当时，本判别法失效。 （5）正项级数根值判别法的极限形式 设为正项级数，且,　则 （a）当1时，级数收敛； (b) 当1（包含）时，级数发散； ( c) 当时，本判别法失效。 2．交错级数的莱布尼兹判别法 若正数列｛｝单调减少，且, 则交错级数（及）收敛，且余和。 3.　绝对收敛与条件收敛 若收敛，则称绝对收敛； 若发散，而收敛，则称条件收敛。 绝对收敛级数必收敛。 绝对收敛级数的任一更序级数仍绝对收敛于原级数的和。 （四）幂级数 1．幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）阿贝尔定理 若幂级数在某点(0)处收敛，则在区间（）内的任一点处均绝对收敛； 若幂级数在某点处发散，则在满足的任一点处均发散。 （2）收敛半径的定义 若幂级数不是仅在点x=0处收敛，也不是在（）内的任一点处均收敛，则存在正数r，使当时，收敛；而当时，发散，称此正数称为幂级数的收敛半径。当仅在点=0处收敛时，定义收敛半径=0; 当在（）上都收敛时，定义收敛半径=+。 (3) 　收敛半径的计算 设幂级数满足,（这里的是某个正整数）,且，则　（a）当L0时，=; 　　(b) 当L=0时，= +; 　 　(c) 当L= +时，=0。 （４）收敛区间与收敛域 　　当幂级数的收敛半径r0时，称（）是它的收敛区间；当判定在=处的敛散性后，可确定其收敛域。 2．幂级数的运算 （1）代数运算 设　　　，收敛域为，收敛半径０， 　　　，收敛域，收敛半径０， 则 　a) 　　　　　　　　　　　　　　＝，收敛域为； b) 　 　　　　　　　　　　　　　　 ＝，收敛半径 （这里两个幂级数的乘积是柯西乘积）。 （2）、分析运算 设，收敛域，收敛半径，则 a) 和函数在上连续； b) 和函数在内可导且可逐项求导： 　　　　 ； 　ｃ）和函数在内可积，且可逐项积分： 　　　　　==，； 3．? （1）函数的泰勒级数 设函数f(x)在点x的某个邻域内有任意阶导数，则称幂级数 　　　=++… 为f(x)在点x的泰勒级数。而称 　　　　　=++… 为f(x)的麦克劳林级数（=0时的泰勒级数）。 （2）函数的幂级数展开（间接展开法） 利用五个初等函数的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的代数运算，分析运算， 变量代换等手段，求给定函数的幂级数展开式。 ? 复习指导： 8章 数列与无穷级数 （一）、数列 计算数列的极限，通常可利用代数恒等变形、数列极限的运算法则和利用函数极限的方法。这里必须注意的是：由于数列是定义域为离散点集的函数，故不能直接使用洛必达法则，如需使用此法则，必须先化成具有连续变量的函数，再利用函数极限计算数列极限。 　　假定数列由递推公式定义，则一般可考虑利