华南理工大学版微积分下课件32..docVIP

第二节 常数项级数的收敛性质及其判别法 正项级数及其审敛法设是正项级数的部分和数列，则是单调递增数列，如果是有界的则一定存在极限（单调有界准则）定理1：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。定理2：（比较判别法）设级数和都是正项级数，且，若级数收敛级数也收敛；若级数发散级数也发散。证明：设收敛于，是正项级数的部分和数列，则有 由定理1可得所需结论。 推论1：设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数，当时有则级数收敛；如果级数发散，且存在自然数，当时有则级数发散； 例5：讨论级数的敛散性（） 解：设，则 由比较判别法，级数与级数同敛散。 我们考虑级数，其部分和 当时，，级数收敛； 当时，不存在，级数发散。 例6：证明收敛。 解：因为，而级数收敛， 由比较判别法级数收敛。 定理3：（比较判别法极限形式）设和都是正项级数，如果 则级数和同时收敛或同时发散。 证明：由极限定义，取，存在自然数，当时有 由推论1可的所需结论。 例7：判别级数的敛散性。 解：因为，级数发散 所以级数发散。 例8：判别级数的敛散性。 解：因为，级数收敛 所以级数收敛。 定理4：（比值判别法）若正项级数的后一项与前一项 之比值的极限等于，即 1）当时级数收敛； 2）当时级数发散； 3）当时不能确定。 证明：1）如果，由极限的定义，取适当使得（无妨设），存在自然数，当时有 由比较判别法得收敛。 如果，自己证明。3）由调和级数与例8说明。 例9：判别级数的敛散性 解：因为 级数发散。 例10：证明级数是收敛的。 解：因为 级数收敛。 例11：判别级数的敛散性 解：因为 级数收敛。 定理5：（根式判别法）设是正项级数，如果 ，则 1）当时级数收敛； 2）当时级数发散； 3）当时不能确定。 证明：1）如果，取适当使得（无妨设 ），存在自然数，当时有 由比较判别法得收敛。 例12：判别级数的敛散性。 解： 因为 有根式判别法级数收敛。 二、交错级数及其审敛法级数中如果含有无限项正项和无限项负项，则称 为任意项级数。各项正负交错的级数，叫交错级数。如是正项级数， 则级数是交错级数。定理6：如果交错级数满足条件1） 2）则级数收敛，且其和，其余项的绝对值 证明：由单调有界准则：，又因为，所以 绝对收敛和条件收敛 定理7：如果级数收敛，则级数收敛。 证明：设，但 注：逆定理不成立。如 定义：对于一般的级数如果级数收敛则称级数 绝对收敛；如果级数发散而级数收敛，则称 级数条件收敛。 例12：判别级数的敛散性。（绝对收敛） 解： 先考虑级数的敛散性，因为 级数收敛，由比较判别法收敛 原级数绝对收敛。 例13：判别级数的敛散性。（发散） 解：因为 级数不是绝对收敛的，且此级数一定发散。 注：由比值判别法、根式判别法，判别不绝对收敛的级数 一定发散。