华南理工大学数学实验论文..docxVIP

数学实验报告——迭代与分形实验目的和意义了解分形几何的基本理论。了解通过迭代方式，产生分形图的方法。了解分形几何的简单应用。问题描述对一个等边三角形，每条边按照koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为koch雪花，编制程序绘制出它的图形，并计算koch雪花的面积，以及他的分形维数。对一条竖向线段，在其三分之一分点出，向左上方向画一条线段，在其三分之二点出，向右上方向画一条线段，线段长度都是原来的三分之一，夹角都为30度，迭代一次后变成如图所示的分型图，继续迭代得到分形图，可模拟树木花草，编制程序绘制出它的图形。实验过程第一个问题一、模型建立 在本问题中，采用的方法和koch曲线类似，即每条边都按照koch曲线的形成过程来进行变换，对于每一条线段，先将其分成三等分，然后将中间的一份替换成一次变为底边的等边三角形的另外两条边。然后进行无限次的迭代下去。最终形成koch曲线，在本问题中只是将一条Koch曲线变成三条koch曲线而已。二、方法分析 在MATLAB编程当中，进行的主要思想是首先确定每一条线段的起点和终点，然后以此起点和终点为基准，依次的派生出需要进行下一步迭代的节点，然后将所有的节点进行plot函数连接，不过在形似与三角形的Koch曲线编程当中，需要将最末位的点和最首位的点单独进行声明连接。三、实现过程首先对课本中的Koch曲线的程序进行稍微的改动，所要做的改动的地方包括：1，对初始的p矩阵进行的定义，由于三角形是一个封闭的环形，所以需要对矩阵的元素进行一些改动，除了需要将三角形的三个点放入其中之外，还需要将三角形的第一个点放到第四位，这样可以实现连线时的循环；2，初始的n值应当为按照三角形考虑时的3；3，在clear p之后将p矩阵中加一个三角形的初始点的元素，即（0,0）点。实现该功能的代码如下：function frat(k)A=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)];p=[0,0;5,10*sin(pi/3);10,0;0,0];n=3;for s=1:k j=0;for i=1:n q1=p(i,:); q2=p(i+1,:); d=(q2-q1)/3; j=j+1;a(j,:)=q1; j=j+1;a(j,:)=q1+d; j=j+1;a(j,:)=q1+d+d*A; j=j+1;a(j,:)=q1+2*d;end n=4*n; clear p p=[a;0 0];endplot(p(:,1),p(:,2));axis equal然后检验该代码的正确性，将代码复制到edit命令窗口中，然后保存为frat.m文件，在命令窗口中输入代码frat(1),得到的结果如图所示：然后输入frat（2），得到的图像为：然后输入frat（3），得到的结果如下图所示：在命令窗口中输入frat（4），可得：由此可知，该代码正确，因此进行下一步的求解。接下来进行该图形的面积求解，由于该函数的图像由许多相似的图形组成，所以其面积也具有某种规律，在函数迭代k次之后其面积是k的函数，经过计算，在迭代k次之后，其面积为：按照此思想，进行面积的编程的表示：d=25*sqrt(3);s=d;for i=1:k s=s+3*4^(i-1)*d/(9^i);enddisp(s) 将此代码加到刚刚进行的代码之后，就可以在输出图形的同时输出面积了。需要注意的是，该面积是在三角形的边长为10的前提下算出的面积，如果要算出边长为x的三角形的面积，则要进行相似形的面积变换，只需要将算出的面积乘以x的平方再除以100即可。在命令窗口中输入frat（2），可在命令窗口中看到输出的结果为：64.1500在命令窗口中输入frat（3），可在命令窗口中看到输出的结果为：67.0011算出的结果与正确的面积相同，因此该代码正确，该实验进行的无误。最后进行的是该迭代形状的维数计算，根据迭代的规律可得，相似形的个数m=4,边长放大倍数c=3,因此维数为 d==1.2629 第二个问题一、模型建立在进行树木模型的迭代的时候，需要使用复数的向量这一表示法，这样可以使整个代码较为简洁。大体的一个模型是先通过代码实现树木模型的第一次迭代，然后再分别以每一个树枝为模版，进行函数的递归调用，递归的次数就为分形树木的阶数。二、方法分析在树木模型迭代的过程中，需要先通过编程实现初始的数目支架模型，然后再对每一条边（包括主干上通过生成分支之后的小段）实现递归函数的调用，然后这样层层的递归下去，一直到递归次数满足条件为止。考虑到需要进行函数的递归，所以在调用函数的时候需要将作用的线段端点和调用次数都作为函数的变量，而在初始调用函数的时候还需要用户输入进行迭代的次数，所以函数总共有四个变量：初始点z1，z2，需要进行递归的总次数n以及递归