利用轴对称求最短距离问题..docVIP

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？ 你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。设A′是A的对称点，本问题也就是要使A′M与BM的和最小。在连接A′B的线中，线段A′B最短。因此，线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。 如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、A′N。 因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。 ∴AM+BM= A′M+BM= A′B 在△A′BN中， ∵A′B＜A′N+BN ∴AM+BM＜AN+BN 即AM+BM最小。 点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10. Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长最小， y值略。 数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。 两条直线间的对称 题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A地，问他应该怎样走才能使总路程最短。 点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A作a1的对称点A′，作a2的对称点A〞,连接A′A〞交a1、a2于B、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为A′A〞。 二、三角形中的对称 题目2 如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是 __ 点评：本题只要把点C、D看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段AB看成燃气管道a，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。 三、四边形中的对称 题目3 如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B的对称点B′在圆上，AB′交ON于点p′,由∠AON﹦60°, ∠B′ON﹦30°，∠AOB′﹦90°，半径长为1可得AB′﹦。当点P运动到点p′时，此时AP+BP有最小值为 五、立体图形中的对称 题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物，已知盒高h＝10cm，底面圆的周长为32cm，A距离下底面3cm．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm． 点评：如图2，此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B关于EH的对称点B′,作AC⊥GH于点C,连接A B′。在Rt△A B′C中，AC﹦16, B′C﹦12,求得A B′﹦20，则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。 通过变式训练既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应变能力A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 析：展开图如图所示， 路线1即为所求。 长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。 由学生引申总结以下1——4： 已知：如图，A、B两点在直线的同侧，点与A关于直线对称，连结交于P点，若=a，（1）求AP+PB；（2）若点M是直线上异于P点的任意一点，求证：. 已知：A、B两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点M。 在上求作一点M，使得最小； 在上